BTS — groupement CCorrection ´epreuve Math´ematiquesSession 2006Exercice 1 (10 points)Partie A.00 0Soit l’´equation : (E) y −4y +3y =−3x−21. L’´equation (E) est une ´equation du second ordre a` coefficients constants.00 0Les solutions de l’´equation sans second membre (E ) y −4y +3y = 002s’obtiennent en r´esolvant ...
Exercice 1 (10 points) Partie A. 00 0 Soitl’e´quation:(E)y−4y+ 3y=−3x−2 1.L’e´quation(Ee)tsnu´edusecondequationcffieotneirdroca`e.tsonscanst 00 0 Lessolutionsdel’e´quationsanssecondmembre(E0)y−4y+ 3y= 0 2 s’obtiennentenr´esolvantl’´equatoncaracte´ristique:r−4r+ 3 = 0. Celleciposse`dedeuxsolutions:r1= 1 etr2= 3. Lessolutionsdel’´equation(E0paesr´dsninfienofsoitc)oscneltnod r1x r2x x3x y=C1e +C2e =C1e +C2e o`uC1etC2essdntdaenepd´s,ellee´rsetnatsnosontdescles.tiaisnnitioiocdn 2.(a)Recherched’unesolutionparticulie`resouslaformeg(x) =ax+b:g est une solution de (E) si et seulement si 3ax−4a+ 3b=−3x−2, soita=−1 etb=−2. Doncg(x) =−x−2. (b) Lessolutions de (Eenua`tnatuojaneti-rtpaontilusonnenbtie)s’o culie`rede(El)seosedse(´en´erallutionsgE0). L’ensemble des solu-tions de (E) est l’ensemble des fonctions x3x2 f(x) =C1e +C2e−x−2 (C1;C2)∈R 0x3x00x3x 3. Onaf(x) =C13e +C2e−1 etf(x) =C1e +9C2e . 00 Si on imposef(0) =−1 etf(0) = 9 alors :C1= 0 etC2uo`d’1,= 3x f(x) = e−x−2 ´ Partie B. Etude defiesu´efinR,rd 3x 1. En−∞lim (0 ete =, lim−x−2) = +∞donc limf= +∞ x→−∞x→−∞ −∞ 2. Auvoisinage de +∞urleverl,pomrnitaoii’dne´ettemin´,ournslilaircet 3x e 2 fsous la forme :f(x) =x−1−. x x 3x e 2 On alim =+∞et lim= 0 donc limf= +∞ x x x→+∞x→+∞+∞