Partie A. Soitl’e´quation:(E) 4y0+y= 1200e−41x 1.h1(x) =axe−41x;h01(x) =ae−14x1−x4. Donc 4h01(x)+h(x) = 4ae−41x.On a donca= 300 eth1(x) = 300xe−14x. 2. (E0) 4y0+y= 0 a pour solution les fonctionsy(x) =Ce−41x; les solutions de (E) sont donc les fonctionsh(x) = (C+ 300x)e−14x 3. Avech(6) = 0, on trouve :C=−1800 eth(x) = (300x−1800)e−14x
Partie B. Soitfde´+;6einfi[rus∞[ parf(x) = 300(x−6)e−14x. lim 1.xl→i+m∞xe−41x= 0 doncx→+∞f(x) = 0 2.f0(x) = 300 e−14x−14×300(x−6)e−41x= 75(10−x)e−14x. 3. Quandx∈[6; 10], f0(x)>0 et quandx>10, f0(x)60. 4.cf courbe
Partie C. 1. (a)cf courbe (b) Table :
xi 20 25 15 17,510 12,5 yi100 85 62 42 28 110 zi= lnxiyi−63,219 2,571 1,93 1,295 0,693 -0,547 (c)z≈ −0,250686x+ 5,704929 (d)y= (x−6)e−0,25x∙e5,705≈300(x−6)e−0,25x 2. Soitg(x) =xf(x) = 300x(x−6)e−41x.g0(x) =−75(x2−14x+ 24)e−41x. g0(x)>0 si 66x612 etg0(x)60 pourx>12.gpresente donc un ´ maximum pourx= 12 000 euros etg(12)≈1075,4milliers d’euros.