Plan Définition IInnttrroodduuccttiioonnIInnttrroodduuccttiioonn Fonctions logiques (ET, OU, NON) Règles de l’Algèbre de Boole Théorème de De Morgan Simplification des fonctions logiques 1 Définition Définit en 1847 par Georges Boole (1815- 1864), physicien Anglais Algèbre applicable au raisonnement logique qui traite des fonctions à variables binaires (deux valeurs). Ne s'applique pas aux systèmes à plus de deux états d'équilibre. Permet d'étudier les circuits logiques (un système logique sert à modifier des signaux). INTRODUCTION L’algèbre de Boole permet de manipuler des valeurs logiques Une valeur logique n’a que deux états possibles : VVVVrrrraaaaiiiieeee((((1111)))) oooouuuu FFFFaaaauuuusssssssseeee((((0000)))).... Plusieurs valeurs logiques peuvent être combinées pour donner un résultat qui est lui aussi une valeur logique Exemple : Vrai faux Ouvert fermé Avant arrière 2 Introduction La manipulation des valeurs logiques repose sur 3 fonctions (ou opérateurs) logiques de base: ET, OU, NON A et B; A ou B; non A La variable logique est une grandeur qui peut prendre 2 valeurs qui sont repérées habituellement 0 ou 1.
Définit en 1847 par Georges Boole (1815-1864), physicien AnglaisAlgèbre applicable au raisonnement logique quitraite des fonctions à variables binaires (deuxvaleurs).Ne s'applique pas aux systèmes à plus de deuxétats d'équilibre.Permet d'étudier les circuits logiques (unsystème logique sert à modifier des signaux).
INTRODUCTION
L’algèbre de Boolepermetde manipulerdesvaleurs logiquesUne valeur logique n’a que deuxétats possibles :Vraie(1) ou Fausse(0).Plusieurs valeurs logiques peuvent être combinées pourdonner un résultat qui est lui aussi une valeur logiqueExemple :Vrai fauxOuvert ferméAvant arrière
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Introduction
La manipulationdesvaleurslogiquesreposesur3 fonctions (ouopérateurs)logiquesde base:ET, OU, NONA etB;A ou B;non ALa variable logique est une grandeur qui peutprendre 2 valeurs qui sont repéréeshabituellement 0 ou 1.Se note par une lettre comme en algèbreToutes les fonctionslogiquessont forméesdes3 fonctions de base
FonctionlogiqueRésultat de la combinaison (logiquecombinatoire) d'une ou plusieurs variableslogiques reliées entre elles par des opérationslogique de base :la valeur résultante (Oou1) de cette fonctiondépend de la valeur des variables logiques.Une fonction logique possède une ou desvariableslogiques d'entréeet unevariable logique de sortie.Cette fonction logique se note par une lettre commeen algèbre.Exemple F = (A et B) ou C et (non D)
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Fonctions Logiques
Les fonctions logiques peuvent être représentées pardesTables de véritésLa table de vérité permet la connaissance de la sortie(d’un circuit logique) en fonction des diversescombinaisons des valeurs des entréesLe nombre de colonnes est le nombre total d'entrées et desortiesPour "N" entrées, le nombre de lignes nécessaire estd’ordre 2NExemple:Une fonction de 3 entrées et 1 sortie se représentepar une table de 4 colonnes et 8 lignes
Table devérité(exemples)3 entrées et 1 sortie4colonnes et 8 lignesA B C Résultat0 0 0 A B C0 0 1 A B C0 1 0 A B C0 1 1 A B C1 0 0 A B C1 0 1 A B C1 1 0 A B C1 1 1 A B C
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Fonction logique ET(AND)
Représentation:F = A * B ou A • B ou AB
Table de véritéEntrée SortieB A F0 0 00 1 01 0 01 1 1
ABSymbole graphique
Fonction logique OU(OR)
Représentation:F = A + B
Table de véritéEntrée SortieB A F0 0 00 1 11 0 11 1 1
AB
Symbole graphique
F
F
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Fonction logique NON (NOT)
Représentation:F = A
Table de vérité
Entrée Sortie
A F0 1
1 0
A
Symbole graphique
Règles (ou propriétés) del’algèbre de Boole
F
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Théorème de De Morgan
A+B=A.B
Vérification :
A BA+BA.B0 0 1 10 1 0 01 0 0 01 1 0 0
Equivalent
A.B=A+B
Vérification :
A BA.BA + B0 0 1 10 1 1 11 0 1 11 1 0 0
Equivalent
Simplification des fonctions logiques
Pourquoi ?
∀Utiliser le moins de composants possibles
∀Simplifier au maximum le schéma de câblageIl faut donc trouverlaformeminimale de l’expressionlogique considérée
Deux méthodes
∀Algébrique(en utilisant des propriétés et des théorèmes)