UNIVERSITE PARIS SUD FACULTE DES SCIENCES D'ORSAY

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UNIVERSITE PARIS-SUD FACULTE DES SCIENCES D'ORSAY MEMOIRE Présenté pour obtenir LE DIPLOME D'HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES EN SCIENCE DE L'UNIVERSITE PARIS XI Spécialité : Mathématiques par Laurent Fargues Géométrie et cohomologie de certains espaces de modules p-adiques Soutenu le 30 novembre 2009 devant la commission d'examen : M. Henri CARAYOL (université de Strasbourg) M. Jean-Marc FONTAINE (université Paris 11) M. Michael HARRIS (université Paris 7) M. Gérard LAUMON (Rapporteur, CNRS) M. Michael RAPOPORT (Rapporteur, université de Bonn) M. Richard TAYLOR (Rapporteur, université d'Harvard, absent)

tour de lubin-tate

isomorphisme entre les tours de lubin-tate et de drinfeld

invariance par completion formelle de la filtration de monodromie sur les cycles

schema formel

immeuble de bruhat-tits du groupe

espaces de modules locaux

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UNIVERSITE PARIS-SUD FACULTE DES SCIENCES D’ORSAY

MEMOIRE

Présenté pour obtenir LE DIPLOME D’HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES EN SCIENCE DE L’UNIVERSITE PARIS XI

Spécialité : Mathématiques par Laurent Fargues

Géométrie et cohomologie de certains espaces de modules p-adiques

Soutenu le 30 novembre 2009 devant la commission d’examen :

M. Henri CARAYOL (université de Strasbourg) M. Jean-Marc FONTAINE (université Paris 11) M. Michael HARRIS (université Paris 7) M. Gérard LAUMON (Rapporteur, CNRS) M. Michael RAPOPORT (Rapporteur, université de Bonn) M. Richard TAYLOR (Rapporteur, université d'Harvard, absent)

´ ´ GEOMETRIE ET COHOMOLOGIE DE CERTAINS ESPACES DE MODULES p-ADIQUES LAURENT FARGUES

` Table des matieres 1.Espacesdemoduleslocaux:ge´n´eralit´es1 2.Re´sultatssurlacohomologiedesespacesdeRapoport-Zinkobtenuspardesm´ethodes globales 3 3. L’isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld 4 4. Description de l’isomorphisme entre les deux tours au niveau des squelettes et ramiﬁcation des groupes de Lubin-Tate 9 5.Autodualite´delacohomologiedelatourdeDrinfeldsousl’involutiondeZelevinsky18 6.Invarianceparcompl´etionformelledelaﬁltrationdemonodromiesurlescycles evanescents 22 ´ 7.FiltrationsdeHarder-Narasimhandessche´masengroupesﬁnisetplatsetapplication aux groupesp-divisibles 23 8. Espaces de Banach-Colmez 27 Articlespr´esent´es31 R´ef´erences31

´ ´ ´ 1.Espaces de modules locaux : generalites Dansmestravauxjemesuisint´eresse´auxespacesdemodulesdegroupesps-´dseinﬁeividlbis parRapoportetZink([22]),leurcohomologieetlare´alisationge´ome´triquedecorrespondancesde Langlandslocalesdanscesespacesdecohomologie.Commen¸consparrappelerquelquesde´ﬁnitions et notations concernant ces espaces. 1.1..noie´DtinﬁSoitpenlcoˆutF.xinousepremierunnombrbe´glaereuqirQpdeQp. On suppose donn´euntriplet(G, b) o` , u : –Gungrestepuode´ritcurusfQp – siL=W(Fp)[p1] etσ∈Aut(LnesonFrobenius,)´dsegibest une classe deσ-conjugaison dans G(L) ` –:Gm−→Qpulepnuscaris`ocnuaracetcimersteG(Qpnouj)c-norpagsis.`e NotonsEaisondeedocjnguallcsaesﬁe´dedspednoitinorecl,uneexte´rgeinﬁeoisndedn ˘ deQpdansQp. On noteEmaxisionxtenel’e´tdelpe´cemoledee´ﬁimarnonelamEdansQp. On noteJbleσ-centralisateur debdansG(L). Il s’agit desQpreeuri´eund’-poitndsu’enofmrietn sous-groupedeLevidelaformeint´erieurequasid´eploy´eedeG´nodaLemaltuenenpregd´ . nnee com mode`leentierGdeG. SoitG(Zp) le sous-groupe compact ouvert deG(Qpesruq.eoLco´iss)aGest nonramiﬁ´eGnocefdtosse´reasuppuctir´edG(Zpsapesoppeme´crofiaecp´rssuneOnl.yhep)ntG nonramiﬁ´eaﬁnd’inclurelecasdesespacesdeLubin-TateetdeDrinfeld. Sous certaines conditions sur le triplet (G, b, ) Rapoport et Zink on construit dans [22] des espaces de modulespilntntsoisecme´eulP.´rpsida-seuquitrnscot: Date: 4 mars 2009. 1

2G´eom´etrieetcohomologiedecertainsespacesdemodulesp-adiques c –Unsche´maformelMlocalement formellement de type ﬁni sur Spf(OE˘) muni d’une action ˘ continue deJbeetdcenteddoensn’´ueendeMc−→Mc(σ)deEa`E. ˘ ˘ – Une tourJb×G(Qpinumetnairaviuqe-´)eseectndenn´eededed’unedoE`aEdeE-espaces analytiques au sens de Berkovich (MK)K ou`Kparcourt les sous-groupes ouverts deG(Zp) et telle que c Man=MG(Zp) c c ou`Mane´neuqireded´esignelaﬁbreg´Mau sens des espaces analytiques de Berkovich. Rappelonsrapidementlad´eﬁnitiondecesespacesdanslecasleplussimple.Soientn, ddeux n. Soient nombres entiers tels quen≥1 et 0≤d≤G= GLnQp,G= GLnZp, (z) = diag(z,    , z,1,    ,1) { } d−fois etb∈GLn(L) tel que l’isocristal (Ln, bσ) soit l’isocristal covariant d’un groupep-divisible de dimensiondet hauteurnsurFp. SoitHun groupep-divisible surFpmuni d’un isomorphisme (D(H)[p1], ϕ)−∼→(Ln, bσ) qui induit une identiﬁcation Jb= End(H)×Q c On aE=QporaflmescLeemh´.Mest alors tel que siSest unW(Fp-sch)lqeeuuslre´ampest localement nilpotent c M(S) ={(H, ρ)}∼ ou`Hest un groupep-divisible surSet ρ:H×Spec(Fp)S−→H×SS estunequasi-isoge´niedegroupesp-divisibles,Stioneduclomodusegi´dal´rantnpdeS. L’action de c c JbsurMse fait viaρet l’action deJb sur ´ i spar quasi-isoH. SurManlacoleme`tsysnaulyi gen e e´talep-adique de rangnedaTudelal´detedmatieforiveronuneL.elleseteˆverssntmeelomperano´nd c (MK)K⊂GLn(Zp)deMano-emononsdostnboetnuspartrivialisanoitrapsleitdselarelr´epenestita dromieassocie´e(enlaforc¸ant`avivredanslesous-groupeKecis´eme.Pluspr´)tns,iK⊂GLn(Zp) c est un sous-groupe ouvert alorsMKsuleta´ereletneseuaecsiafr´rpeMan Isom(p−kZZ)n, Huniv[pk]anK ou`k≫ +0 est tel que IdpkMn(Zp)⊂KetHuniv´edisnglegeorpuepivisibleassoci´ela`da-c de´formationuniversellesurM. 1.2.Cohomologie.Soitℓre´edentieemiﬀrderrponbmnup. On noteWEle groupe de Weil deE. L’objetprincipalauqueljemesuisint´eress´eestlesuivant.PourKoe´xgernﬁmohogilodearcolae ´etaleℓapeinﬁe´deuqellevikoerrBmidilarVuq`ea-idacttcompportasupch Hc•(MKˆ⊗Cp,Qℓ) Celle-ci est une munie d’une action deJb×WEnde`oa’luoitcJt lisse de type ﬁni (je renvoie ` bes a math`ese[F2]pourlesproprie´te´sdebasedecesrepr´esentationsquisontde´duitesdediversr´esultat deBerkovichpourlage´ome´trieetdeBernsteinpourlathe´oriedesrepresentations). ´ Bienquelarepre´sentationdeJb,epr´ec´edentHc•(MK⊗ˆCp,Qℓ), soit de type ﬁni elle n’est pas enge´n´eraldelongueurﬁniei.e.n’estpasadmissible. AﬁndeconstruiredescorrespondancesdeLanglandsj’airegarde´laconstructionsuivante.Soit πledeunatnenoitperese´rdu´eibctsslirreiJb`aciencoeﬃsnstadQℓsoneris´dC.no lim Ext•JHc•(MK, π −→b⊗ˆCp,Qℓ) K

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