Devoir Libre n˚ 17 PSI a rendre le 30 Mars 2012 Soit (L) l'equation differentielle : y??(x)? y(x) = b(x), definie sur [0, 1], ou b et y sont des fonctions definies sur [0, 1] a valeurs dans R, b continue et y de classe c2 et (L0) l'equation differentielle homogene associee : y??(x)? y(x) = 0. Partie I : Expression des solutions de (L). 1. Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de (L0) ? En donner une base. 2. Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de (L) ? 3. Verifier que la fonction h : x ? [0, 1] 7? h(x) = ∫ x 0 sh(x ? t)b(t)dt est une solution de l'equation differentielle (L). ( Rappel : pour tout reel z, sh(z) = ez ? e?z 2 et ch(z) = ez + e?z 2 ) . 4. En deduire que les solutions de (L) s'ecrivent sous la forme : ?x ? [0, 1], y(x) = Ach(x) +Bsh(x) + h(x) ou A et B sont des constantes reelles.
- endomorphisme auto-adjoint
- allure de la representation graphique de ?
- unique solution
- equation differentielle
- coefficients de fourier de ?
- ?f ?
- calcul de la norme de l'endomorphisme ?