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Publié par | analyse-mpsi |
Nombre de lectures | 135 |
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Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Inégalités de convexité
Exercice 1[ 01398 ][correction]
Observer les inégalités suivantes par un argument de convexité.
a)∀x∈[0 π2],2πx6sinx6xb)∀n∈N∀x>0,xn+1−(n+ 1)x+n>0
Exercice 2[ 01399 ][correction]
Montrer quef: ]1+∞[→Rdéfinie parf(x) = ln(lnx)est concave.
En déduire
∀(x y)∈]1+∞[2,lnx2+y>plnxlny
Exercice 3
Montrer
[ 01400 ][correction]
∀x1 xn>0,x1n+16x1+∙ ∙ ∙+xn
1+∙ ∙ ∙xn
n
Exercice 4[ 01401 ][correction]
Soientp q >0tels quep1+q1= 1.
Montrer que pour touta b >0on a
apbq
+>ab
p q
Exercice 5[ 03172 ][correction]
Soienta b∈R+ett∈]01[. Montrer
atb1−t6ta+ (1−t)b
Exercice 6[ 01404 ][correction]
[Inégalité de Hölder]
Soient >p q0tels que
1 1
+ = 1
p q
a) En exploitant la concavité dex7→lnx, établir que pour touta b∈R+, on a
p√q√b6a+b
a
p q
Enoncés
b) Soienta1 a2 b1 b2∈R+, déduire de ce qui précède :
a1b11a1p1b1q
ppap1+ap2qpb1q+b2q6p a1p+a2p+q b1q+b2q
1
c) Conclure que
a1b1+a2b26pqap1+ap2qqbq1+bq2
d) Plus généralement, établir que pour toutn∈Net touta1 an b1 bnon
a :
nvnvn
i=X1aibi6ptui=X1aipqutXbqi
i=1
Exercice 7[ 01403 ][correction]
a) Montrer quex7→ln(1 +ex)est convexe surR
b) Etablir
∀n∈N?∀x1 x2 xn∈R+?1 +kYn=1xk!1n6kYn=11 +xk!1n
c) En déduire, pour toutn∈N? a1 a2 an b1 b2 bn∈R+?, l’inégalité :
n
Yak!1n+nkY=1bk!1n6nkY=1(ak+bk)!1n
k=1
Exercice 8X MP[ 02945 ][correction]
Soientx1 xn y1 yndes réels positifs.
Montrer
(x1 xn)1n+ (y1 yn)1n6((x1+y1)× ∙ ∙ ∙ ×(xn+yn))1n
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
a) La fonctionx7→sinxest concave sur[0 π2], la droite d’équationy=xest sa
on=2xest celle s
tangente en 0 et la droite d’équatiyπupportant la corde joignant
les points d’abscisses 0 etπ2.
Le graphe d’une fonction concave est en dessous de ses tangentes et au dessus de
ses cordes.
b) La fonctionx7→xn+1est convexe surR+et sa tangente en 1 a pour équation
y= (n+ 1)x−n.
Le graphe d’une fonction convexe est au dessus de chacune de ses tangentes.
Exercice 2 :[énoncé]
fest définie etC∞sur]1+∞[.
f0(x) =x1nlxetf00(x) =−nl(xlx+nx)1260
fest concave.
Puisquefest concave :
fx+2y>f(x2)+f(y)
i.e.
x+yln(lnx) + ln(lny)
2> ln2 =plnxlny
ln ln
La fonctionexpétant croissante :
lnx+2y>plnxlny
Exercice 3 :[énoncé]
La fonctionf:x7→1est convexe surR+?donc
x
fx1+∙n∙ ∙x1) +∙ ∙n∙+f(xn)
+xn6f(
d’où
puis l’inégalité voulue.
1 1
n
x1+∙ ∙ ∙+xn6x1+∙ ∙n∙+xn
Exercice 4 :[énoncé]
La fonctionx7→lnxest concave. En appliquant l’inégalité de concavité entreap
etbqon obtient
ln( 1p ap+ 1q bq)>p1nlap+qln1bq
puis l’inégalité voulue.
Exercice 5 :[énoncé]
La propriété est immédiate poura= 0oub= 0.
Supposons désormaisa b >0.
Par concavité de la fonction logarithme, on peut affirmer
et donc
ln(ta+ (1−t)b)>tlna+ (1−t) lnb
ln(atb1−t)6ln(ta+ (1−t)b)
puis l’inégalité proposée en composant avec la fonction exponentielle qui est
croissante.
Exercice 6 :[énoncé]
a) Par la concavité dex7→lnx, on a pour touta b >0et toutλ∈[01]
l’inégalité :
λlna+ (1−λ) lnb6ln(λa+ (1−λ)b)
Appliquée àλ= 1p, elle donne
b
ln√paq√b6lna+
p q
puis l’inégalité voulue. Enfin celle-ci reste vraie sia= 0oub= 0.
b) Il suffit d’appliquer l’inégalité précédente à
c) De mme on a aussi
ap1b1q
= =
aap1+a2petbbq1+bq2
pap1+aa2p2bq2pbq1+b2q6p1aa2pp+ 1bq2
p1p+a2q bq1+bq2
donc en sommant les inégalités obtenues puis en simplifiant on obtient celle
voulue.
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
d) En reprenant l’inégalité du a) avec
apjetb=bq
a=n n j
PapiPbiq
i=1i=1
puis en sommant les inégalités obtenues, on obtient celle voulue.
Exercice 7 :[énoncé]
a)f:x7→ln(1 +ex)est définie etC∞surR.
x1
f0(x) = 1 +eex1 +exetf00(x +) = (1exex)2>0
= 1−
fest donc convexe.
b)
fa1+∙ ∙ ∙+an6f(a1) +∙ ∙ ∙+f(an)
n n
donne
ln1 +ea1 +∙∙n∙+an6n1nlk=nY11 +eak!
puis
n
Y1 +ea
1 +ea1 +∙∙n∙+na6k=1k!1n
qui donne l’inégalité voulue en partant deak= lnxk.
c) En factorisant
n
k=Yn1ak!1n+kYn=1bk!1n6k=Yn1ak!11 +kY=n1bakk!1n
puis en vertu de ce qui précède
k=Yn1ak!1n+nkY=1bk!1n6nkY=1ak!1nkYn=11 +abkk!1n
puis
6Y(ak
nkY=1ak!1n+k=Yn1bk!1nn+bk)!1n
k=1
Corrections
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Exercice 8 :[énoncé]
Si l’un desxiou desyiest nul, la relation est immédiate. On suppose désormais
xi yi>0.
En divisant par(x1 xn)1n, la propriété demandée équivaut à
1 + (α1 αn)1n6((1 +α1) (1 +αn))1npour toutαi>0. Etablissons cette
identité.
Considérons la fonctionf:x7→ln (1 + ex).
fest dérivable etf0(x) =+1exex= 1−+e11x. La fonctionf0est croissante doncf
est convexe.
Par l’inégalité de Jensen :
∀a1 an∈R fa1+∙ ∙n∙+an61n(f(a1) +∙ ∙ ∙+f(an))
Pourai= lnαi, on obtient
ln1 + en1(lnα1+∙∙∙+αn)6n +1 (ln(1α1) +∙ ∙ ∙+ ln(1 +αn))
puis
ln1 + (α αn)1n6ln ((1 +α1) (1 +αn))1n
1∙ ∙ ∙
et par la croissance de la fonction exponentielle, on obtient
1 + (α
1 αn)1n6((1 +α1) (1 +αn))1n
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