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Publié par | analyse-mpsi |
Nombre de lectures | 31 |
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Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Calcul d’intégrales
Exercice 1[ 01964 ][correction]
Calculer les intégrales suivantes :
a)Z2d2tb)
1t
Z101d+tt2
Exercice 2[ 00284 ][correction]
Calculer les intégrales suivantes :
2π
a)Zcos2tdt
0
Z12
b)lntdt
)Z102dt
c√1−t2
c)Z01√1t+t2dt
Exercice 3[ 01963 ][correction]
Pourm n∈N, calculer
2
mn=Z0πcos(mt) cos(nt) dt
I
Exercice 4Centrale PC[ 01547 ][correction]
Démontrer que, pour toutQ∈R[X],
Z−11Q(t) dt=−iZ0πQ(eiθ)eiθdθ
Exercice 5CCP MP
a) Etudier la fonction
avec|λ| 6= 1.
b) Calculer
[ 02508 ][correction]
fλ(x) =√1−2sλocnixsx+λ2
Z0πfλ(x) dx
Enoncés
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Dans chaque la détermination d’une primitive est (assez) immédiate
a)
Z21td2t=−122=1
t1
b)
c)
1
Z0+1dtt2= [arctant]104=π
Z102√d1t−t2= [arcsint]12π
06=
Exercice 2 :[énoncé]
a) En linéarisant
Z02πcos2tdt=Z2πso221c+tdt=2t+2nis4t02π=π
0
b) Par intégration par parties
2
Zlntdt= [tlnt−t]12= 2 ln 2−1
1
c) On reconnaît une formeu0√u
Z01√1t+t2dt=ph1 +t2i10=√2−1
Exercice 3 :[énoncé]
Sim=n= 0alors
2π
Inn=Zdt= 2π
0
Sim=n6= 0alors
Inn=Z02πcos2(nt)dt=Z20π12+21oc(s2nt)dt=π
Corrections
Sim6=n, en exploitant
cosmtcosnt=sco(2(1m+n)t+ cos(m−n)t)
2
on obtient
−n)t]02π
Imn21=Z02πcos(m+n)tdt2+1Z20πcos(m−n)tdt2([=is(nmm++nn))t]20π+([2sin(mm−n)
Exercice 4 :[énoncé]
Par linéarité de l’intégrale, il suffit de vérifier la relation pourQ=Xnavecn∈N.
D’une part
Z−11Q(t) dt=n11+tn+11−1= 1−(−1)n+1
n+ 1
et d’autre part
1πei(n+1)π−1
ZπQ(eiθ)eiθdθ=ei(n+1)θ=
0i(n+ 1)0i(n+ 1)
Sinest impair alors
Z−11Q(t) dt= 0 =−iZ0πQ(eiθ)eiθdθ
Sinest pair alors
Z−11Q(t) dt=n2+1etZ0πQ(eiθ)eiθdθ=i(n−2+)1
et la relation voulue est encore vérifiée.
Une alternative plus courte, mais moins élémentaire consister à exploiter que la
forme différentielle
ω(x y) =Q(z) dz=Q(x+iy) (dx+idy)
est exacte et que donc son intégrale curviligne le long d’un pourtour fermée est
nulle.
Exercice 5 :[énoncé]
a)1−2λcosx+λ2= (λ−cosx)2+ sin2x >0pour toutx∈Rcar|λ| 6= 1. La
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=
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Corrections
fonctionfλest définie surR. Cette fonction est évidemmentC∞,2π-périodique et
impaire. Nous limitons son étude à[0 π].
Le casλ= 0est immédiat. On suppose dans la suiteλ6= 0.
f0λ(x)est du signe deλ2cos(x)−λ(1 + cos2x) + cosx. Cette expression s’annule
pourcosx=λoucosx= 1λ.
Pour|λ|<1,
x0 arccosλ π
f0λ(x) + 0−
fλ(x) 0%1&0
Pour|λ|>1,
x
f0λ(x)
fλ(x)
On a
Z0πfλ(x)dx= 1
λ
Pour|λ|<1,
Pour|λ|>1,
0
0
+
%
arccos 1λ
0
1λ
−
&
π
0
hp1−2λcosx+λ2i0π=|1 +λ|λ− |1−λ|
Z0πfλ(x)dx= 2
Zπx=|λ2|
fλ(x)d
0
3
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