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Publié par | analyse-mpsi |
Nombre de lectures | 53 |
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Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Inégalités
Exercice 1[ 03643 ][correction]
Soientx y∈[01]. Montrer
x2+y2−xy61
Exercice 2
Montrer
Exercice 3
Montrer
Exercice 4
Montrer
[ 02096 ]
[correction]
∀a b∈R,ab612a2
[ 02097 ][correction]
+b2
∀a b c∈R,ab+bc+ca6a2+b2+c2
[ 03224 ][correction]
∀u v>01 +
√uv6
Exercice 5[ 03405 ][correction]
Soientn∈N?,a16 6anetb16 6
Etablir
1nkX=n1ak! n1k=Xn1
√1 +u
√1 +v
bndes réels.
n
bk!61nXa
k=1
kbk
Enoncés
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Sachantx26xety26y, on a
x2+y2−xy−16x+y−xy−1 = (x−1)(1−y)60
Exercice 2 :[énoncé]
(a−b)2>0donne2ab6a2+b2
Exercice 3 :[énoncé]
Sachant
2xy6x2+y2
on obtient
ab+bc+ca621(a2+b2(12+)b2+c212)+(c2+a2) =a2+b2+c
Exercice 4 :[énoncé]
Compte tenu de la positivité des membres, le problème revient à établir
1 +√uv26(1 +u)(1 +v)
soit encore
ce qui découle de la propriété
2√uv6u+v
√u√−v2>0
Exercice 5 :[énoncé]
Par somme de quantités positives, on a
X(ak−a`)(bk−b`) =X(akbk−a`bk
16k`6n16k`6n
En séparant la somme en quatre, on obtient
2
−akb`+a`b`)>0
n n n n
nXakbk−2XakXb`+nXa`b`>0
k=1k=1`=1`=1
Corrections
et on en déduit
n
nXakb
k=1
ce qui donne l’inégalité demandée.
n n
k>XakXbk
k=1k=1
2
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD