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Publié par | geometrie-mpsi |
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Langue | Français |
Extrait
Polygone convexe du plan
Dans tout le problèmedésigne un plan affine euclidien.
Le produit scalaire de deux vecteursetde ce plan est noté (|) et la norme d’un vecteurest notée
.
L’objet de ce problème est d’étudier les polygones convexes du plan.
Tous les demi-plansconsidérés dans ce problème seront supposés fermés, c’est à dire incluant leur droite
limite.
Définitions générales :
On appellecombinaison convexedes points1,2,…,tout point pouvant s’écrire comme barycentre des
points1,2,…,affectés de massesα1,α2,…,αavecα1,α2,…,α≥0 etα1+α2+⋯+α=1 .
Soit,deux points du plan. On appellesegmentd’extrémitésetl’ensemble,formé des points
combinaison convexe des pointset.
Soit (1,2,…,) (avec∈ℕ∗) une famille de points du plan. On appelleenveloppe convexede la famille
de points (1,2,…,) l’ensemble(1,2,…,) formé des pointscombinaisons convexes des
points1,2,…,.
En particulier,=(,)
.
Soitune partie du plan. On dit queestconvexessi∀,∈,,⊂.
1.
1.a
1.b
1.c
2.
2.a
2.b
3.
3.a
3.b
3.c
4.
4.a
Partie I
Premiers exemples de parties convexes.
Montrer que tout disque fermé est convexe.
Montrer que tout demi-plan du planest convexe.
Montrer que tout enveloppe convexe d’une famille de points est convexe.
Soitet′deux convexes du plan.
Montrer que∩′est convexe.
Montrer, par récurrence sur∈ℕ∗, que toute combinaison convexe depoints deest encore un
point de.
Soit1,2,3trois points non alignés du plan.
On appelle triangle de sommets1,2,3l’ensemble=(1,2,3) .
On note1 (le demi-plan délimité par la droite23) et contenant le point1.
On définit de même, par permutation circulaire, les demi-plans2et3.
Justifier que⊂1∩2∩3.
On introduit le repère affine=(1,12,13 ( on note) et, coordonnées des points) les∈.
Par quelles inéquations, relatives au repère, les demi-plans1,2et3sont-ils définis ?
Etablir1∩2∩3⊂et conclure.
On reprend les notations et les hypothèses de la question 3.
On posel’isobarycentre des points1,2,3.
Justifier que∉(12)∪(23)∪(31) .
4.b
En déduire qu’il existe> que0 tel(,)⊂
(avec(, disque de centre) leet de rayon).
Partie II
Dans l’intégralité de cette partie,désigne un point du planfixé.
∗
Pour toute partiede, on note∗l’ensemble défini par=
∈
/∀∈
,|≤1
.
Cette partie∗est appelé dual de la partieen.
1. Soitetdeux parties du plan.
1.a Montrer que∗est un convexe contenant.
1.b Etablir l’implication :⊂⇒∗⊂∗
.
1.c Justifier⊂∗∗où∗∗se comprend comme étant le dual endu dual ende.
2.a Déterminer∗puis{}∗.
2.b Soit>0 .
Etablir :((,)∗=(,1) .
3. Soitun point du plandifférent de.
3.a On note=∈/|=1 .
Montrer queest une droite perpendiculaire à () en un pointà préciser.
3.b Etablir que{}∗est le demi-plan délimité paret contenant le point.
Indice : on pourra introduire un repère orthonormé adapté au problème étudié.
4. On étudie maintenant le problème inverse :
Soitun demi-plan contenant le pointet délimité par une droitene passant pas par.
Justifier l’existence d’un pointdu plantel que= {}∗.
Partie III
On appelle polyèdre convexe toute partie bornée depouvant s’écrire comme intersection d’un nombre fini de
demi-plans.
Soit∈ℕ∗et ()1≤≤une famille finie de demi-plans. Pour tout∈ {1, 2,…,}, on notela droite
délimitant le demi-planet on considère le polyèdre=∩.
1≤≤
On suppose queest borné, on dit alors queest un polygone.
Pour tout 1≤≤, l’intersection∩, lorsqu’elle est non vide, est un segment du plan.
On l’appelle arête du polygoneet ses extrémités sont appelés sommets de.
Tout point dene figurant pas sur une arête deest dit intérieur à.
On suppose que de tels points existent, on dit alors queest non aplati.
1. Soitun point du polygoneetδune demi-droite d’origine.
On note={∈ {1, 2,…,}/δ⊄}et={∈ {1, 2,…,}/δ⊂}.
1.a Justifier que≠ ∅.
1.b Pour∈, on notele point intersection deδetde sorte queδ∩=,.
.
On pose=m∈inet on note0∈ {1, 2,…,}un indice tel que=0
En distinguant selon que∈ou∈, établir :∀∈ {1, 2,…,},0∈.
1.c Conclure queδ∩=,0.
2.
3.
3.a
3.b
3.c
4.
4.a
4.b
4.c
4.d
5.
5.a
5.b
Montrer que l’intersection d’une droiteet du polygoneest soit vide, soit égale à un segment dont
les deux extrémités appartiennent aux arêtes de.
Notons1,2,…,les sommets deet formons′(1,2,…,)
=
On désire établir que=′.
Justifier′⊂.
Justifier que les arêtes desont incluses dans′.
Montrer que tout point intérieur àest aussi dans′et conclure.
Soitun point intérieur à.
On reprend la notion de dual introduite dans la partie II.
On veut montrer que=∗∗.
Soit∉
Montrer qu’il existe un demi-plan, avec∈ {1, 2,…,}, tel que∉
.
En vertu de l’étude du II.4, on peut introduire un pointtel que= {}∗.
Montrer que∈∗.
En déduire que∉∗∗.
Conclure.
Soit1,2,…,des points non alignés et=(1,2,…,) .
Justifier l’existence d’un pointdu plan pour lequel il existe