Appendice 1TOPOLOGIENous avons rassemblØ dans ce chapitre les notions topologiques, dont nous avons besoindans ce cours. Certaines des dØmonstrations sont mots mots les mŒmes que celles faites dansle cadre des espaces mØtriques (cf. cours d Analyse [17], chapitre 10).Version du 2 fØvrier 2004Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 457à1.1 Ensembles ouverts et fermØs1.1 Ensembles ouverts et fermØsDEFINITION 1 Soit X un ensemble. On dit quune partie T de P(X) est une topologie sil on a S(a) Si G⊂T,alors O∈T .O∈G T(b) Si F est une partie Þnie deT,alors O∈T .O∈FOn dit que (X,T) est un espace topologique.Une partie O⊂X est dite ouverte si O∈T .Une partie F ⊂ X est dite fermØe si{A := XrA est ouverte. A la place de (X,T) on Øcritsouvent simplement X .PROPOSITION Soient X un espace mØtrique, d sa mØtrique, x∈X , ε> 0 ,B (x):={y∈X |d(x,y)6 ε} et D (x):={y∈X |d(x,y)< ε} .ε εEn posantT :={O⊂X |∀x∈O∃ε> 0 tel que B (x)⊂O}(X,d) εon dØÞnit une topologie sur X .Cela a ØtØ dØmontrØ dans la proposition 10.12, cours d Analyse [17]. Ainsi tout espacemØtrique est associØ un espace topologique.DEFINITION 2 On dit qu un espace topologique est mØtrisable si sa topologie peut ŒtredØÞnie par une mØtrique.EXEMPLE 1 SoitX unespacetopologique,Tsa topologieetY unepartie deX .EnposantT :={O∩Y |O∈T}Yon dØÞnit une topologie sur Y ,ditelatopologie induite .Si X est un espace mØtrique etT sa topologie, alors T est le topologie qui provient de laYmØtrique induite par X sur Y ...
Nous avons rassemblé dans ce chapitre les notions topologiques, dont nous avons besoin dans ce cours. Certaines des démonstrations sont mots à mots les mêmes que celles faites dans le cadre des espaces métriques (cf. cours dAnalyse [17], chapitre 10).
Claude Portenier
ANALYSE FONCTIONNELLE
Version du 2 février 2004
457
1.1
1.1
Ensembles ouverts et fermés
Ensembles ouverts et fermés
DEFINITION 1SoitXun ensemble. On dit quune partieTdeP(X)est unetopologiesi lon a S (a) SiG⊂T, alorsO∈T. O∈G T (b) SiFest une partieÞnie deT, alorsO∈T. O∈F
On dit que(X,T)est un espace topologique.Une partieO⊂Xest diteouvertesiO∈T. Une partieF⊂Xest diteferméesi{A:=XrAest ouverte. A la place de(X,T)on écrit souvent simplementX.
PROPOSITION
En posant
SoientXun espace métrique,dsa métrique,x∈X,ε>0,
Bε(x) :={y∈X|d(x, y)6ε}
et
Dε(x) :={y∈X|d(x, y)<ε}.
T(X,d):={O⊂X|∀x∈O∃ε>0tel queBε(x)⊂O} on déÞnit une topologie surX.
Cela a été démontré dans la proposition 10.12, cours dAnalyse [17]. Ainsi à tout espace métrique est associé un espace topologique.
DEFINITION 2On dit déÞnie par une métrique.
EXEMPLE 1
quun espace topologique estmétrisablesi sa topologie peut être
SoitXun espace topologique,Tsa topologie etYune partie deX. En posant
TY:={O∩Y|O∈T} on déÞnit une topologie surY, dite latopologie induite. SiXest un espace métrique etTsa topologie, alorsTYest le topologie qui provient de la métrique induite parXsurY(cf. cours dAnalyse [17], exercice 10.12).
DEFINITION 3
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◦ Pour toutA⊂X, on déÞnit lintérieurAdeApar [ ◦ A:=O. Oouvert,⊂A
TOPOLOGIE
Claude Portenier
Ensembles ouverts et fermés
1.1
On dit quex∈Aest unpoint intérieurdeAsil existe une partie ouverteOtelle quex∈O⊂ A. Sixest un point intérieur deA, on dit queAest unvoisinagedex. En posant \ A:=F Ffermé,⊃A
on déÞnit lafermeturedeA. Une partieAest ditedensesiA=X.
◦ LensembleAest la plus grande partie ouverte contenue dansA. Lensemble des points ◦ intérieurs deAest égal àA. LensembleAest la plus petite partie fermée contenantA.
EXEMPLE 2SoientXun espace métrique,x∈Xetε>0. LensembleBε(x), respective-mentDε(x), est un voisinage fermé respectivement ouvert dex. On dit que la boule fermée, respectivement ouverte, decentrexetrayonε. On a ◦ Dε(x)⊂Bε(x)etDε(x)⊂Bε(x). Ces inclusions sont en général stricte.
PROPOSITION
SoientA, Bdes parties dun espace topologiqueX. Alors
DEFINITIONSoientX, Ydes espaces topologiques. Une applicationf:X−→Yest dite continueenx∈Xsi, pour toute partie ouverteOdeYtelle quef(x)∈O, il existe une partie ouverteUdeXtelle quex∈Uetf(U)⊂O. Lapplicationfest ditecontinuesi elle est continue en tout point deX.
THEOREMESoientX, Y vantes sont équivalentes :
(i)
(ii)
(iii) (iv)
des espaces topologiques etf:X−→Y
fest continue. −1 f(O)est ouverte pour toute partie ouverteOdeY. −1 f(F)est fermée pour toute partie ferméeFdeY. ¡ ¢ f A⊂f(A)pour toute partieA⊂X.
. Les propriétés sui-
Cf. cours dAnalyse [17], proposition 10.16. Seule léquivalence avec (iv) na pas été démon-trée. ³ ´ ³ ´ −1−1 (iii)⇒(iv)Pour toute partieA⊂X, la partief f(A)est fermée etf f(A)⊃ µ ¶ ³ ´ ³ ´ ¡ ¢ −1−1−1 f(f(A))⊃A. On en déduit quef f(A)⊃Aet par suite quef A⊂ff f (A)⊂
f(A). ¡ ¢ −1 (iv)⇒(iii)SoitFune partie fermée deY. En posantA:=f(F), on af A⊂f(A)⊂ −1−1 F=F, doncA⊂f(F) =A⊂A, ce qui montre queA=f(F)est fermée.¤
EXEMPLESoientXun espace topologique etYune partie deXmunie de la topologie induite. Linjection canoniqueY,→Xest alors continue.
COROLLAIRE lapplication
lest aussi.
Si les applicationsf
:X−→Y
etg:Y
f g h=g◦f:X−→Y−→Z
−→Zsont continues, alors
Cette assertion na pas été démontrée topologiquement (cf. cours dAnalyse [17], théorème 7.3). La démonstration est immédiate en utilisant (ii).
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TOPOLOGIE
Claude Portenier
Convergence
1.3
Convergence
1.3
DEFINITION 1Une suite(xk)deXest diteconvergentesi, pour toute partie ouverte k∈N Utelle quex∈U, il existe unN∈Ntel que lon ait xk∈Upour toutk>N.
EXEMPLE 1Soit(X, d)un espace métrique. Une suite(xk)deXest alors convergente k∈N versxpourT(X,d)si, et seulement si, elle converge versxpar rapport à la métriqued.
PROPOSITIONSoientX, Ydes espaces topolgiques. Alors (i) Si une fonctionf:X−→Yest continue enx∈Xet si une suite(xk)converge vers k∈N x, alors la suite(f(xk))converge versf(x). k∈N (ii) SoientA⊂Xetx∈X. Sil existe une suite(xk)⊂A, qui converge versx, alors k∈N x∈A.
Rappelons que la réciproque de ces assertions est valable dans le cas suivant :
THEOREMESoientX, Ydes espaces topologiques et supposons queXest métrisable. (i) Soitx∈X. Une applicationf:X−→Yest continue enxsi, et seulement si, pour toute suite(xk)convergente versx, la suite(f(xk))est convergente versf(x). k∈Nk∈N (ii) Etant donnéA⊂Xetx∈X, on ax∈Asi, et seulement si, il existe une suite (xk)⊂Aconvergente versx. k∈N
REMARQUE 1En toute généralité on ne peut pas caractériser la continuité et la fermeture à laide des suites. Il faut introduire une généralisation de la notion de suite : lesÞltres.
DEFINITION 2SoitXun ensemble. On dit quune famille non-videB⊂P(X)est une base deÞltresi (a)∅/∈B. (b) Pour toutA, B∈B, il existeC∈Btel queC⊂A∩B. On dit queF⊂P(X)est unÞltresi cest une base deÞltre et si en plus (c) Pour toutA∈FetA⊂B⊂X, on aB∈F.
SoientB,Cdes bases deÞltre. On dit queBestplusÞnequeCsi, pour toutC∈C, il existeB∈Btelle queB⊂C.
SiFest unÞltre alors, pour toutA, B∈F, on aA∩B∈F. Une base deÞltreBengendre unÞltre e B:={A⊂X|il existeB∈Btel queB⊂A}.
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TOPOLOGIE
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1.3
Convergence
e e SiCest une autre base deÞltre, alorsBest plusÞne queCsi, et seulement si,B⊃C.
EXEMPLE 2Si(xk)est une suite de k∈N {xl|l>k}est une base deÞltre surX.
X, alors lensemble des parties de la forme
EXEMPLE 3Sif:X−→Yest une application etBune base deÞltre surX, alors f(B) :={f(A)|A∈B}est une base deÞltre surY. En particulier siXest une partie deYet en considérant linjection canonique, on voit que toute base deÞltre surXest une base deÞltre surY.
EXEMPLE 4SiXest un espace topologique etx∈X, alors lensembleV(x)des voisinages dexest unÞltre.
DEFINITION 3SoitXun espace topologique. On dit quune base deÞltreBconvergevers x∈X, si pour tout voisinageVdeX, il existeA∈Btel queA⊂V, i.e. siBest plusÞne queV(x). On écrit alors x= limB= limy∈By. SiYest un autre espace topologique etf:X−→Yune application, on dit quey∈Yest unevaleur limitedefsuivantBsif(B)converge versyet on écrit y= limf(B) = limx∈Bf(x) = limBf.
REMARQUE 2 converge.
Pour quune base deÞltre converge, il faut et il suffit que leÞltre engendré
Le théorème ci-dessus est alors valable en toute généralité.
THEOREME
SoientX, Ydes espaces topologiques.
(i) Soitx∈X. Une applicationf:X−→Yest continue enxsi, et seulement si, pour tout ÞltreFqui converge versx, la base deÞltref(F)converge versf(x). (ii) Etant donnéA⊂Xetx∈X, on ax∈Asi, et seulement si, il existe unÞltre surA qui converge versxdansX.
462
TOPOLOGIE
Claude Portenier
Espaces topologiques séparés
1.4
Espaces topologiques séparés
1.4
DEFINITIONUn espace topologiqueXest ditséparési, pour toutx, y∈Xtels que x6=y, il existe des partie ouverteO, Utelles quex∈O,y∈UetO∩U=∅.
En particulier, dans un espace séparé toute partie ne contenant quun point est fermée.
EXEMPLE
THEOREME
(i) (ii) Y.
Tout espace métrique est séparé.
SoientX, Ydes espaces topologiques séparés etAune partie dense deX.
Sif, g:X−→Ysont des applications continues telles quef|A=g|A, alorsf=g. Sif:X−→Yest une application continue dimage dense, alorsf(A)est dense dans
Démonstration de (i)
Démonstration de (ii)
donc
Claude Portenier
Il suffit de montrer que{f=g}est fermée et contientA.
Utilisant le théorème 10.2, on a ¡ ¢ f(A)⊃f A=f(X),
f(A)⊃f(X) =Y.
TOPOLOGIE
¤
463
1.5
1.5
Parties et espaces compacts
Parties et espaces compacts
DEFINITION 1SoitXun espace topologique séparé. Une partieK⊂Xest ditecompacte si, pour tout recouvrement ouvert deKpossède un sous-recouvrementÞni. SiXest compact, on dit queXest unespace compact. On désigne parK(X)lensemble des parties compactes deX.
EXEMPLE 1SiXest un espace métrique, alorsK⊂Xest compact si, et seulement si, toute suite deKcontient une sous-suite convergente.
Cf. cours dAnalyse [17], théorème 10.17.
THEOREME
SoientX, Ydes espaces topologiques séparés.
(i) Sif:X−→Yest une application continue etK⊂Xest compacte, alorsf(K)est compact. (ii) Une partie compacte est fermée. (iii) Une partie fermée contenue dans une partie compacte est compacte.
Démonstration de (i)
Cf. cours dAnalyse [17], théorème 10.19.
Démonstration de (ii)La démonstration du cours dAnalyse [17], Corollaire 10.17 utilise les suites. Voici une démonstration topologique. Soitx∈XrK. PuisqueXest séparé, pour touty∈K, il existe des voisinages ouvertsUydeyetVydextels queUy∩Vy=∅. La famille (Uy)est évidemment un recouvrement ouvert deK; il existe donc une partieÞnieF⊂K y∈K T telle que(Uy)soit encore un recouvrement deK. On en déduit queV:=Vyest un y∈F y∈F S voisinage dexqui ne coupe pasUy, donc aussiK. Ceci montre queXrKoffen ist. y∈E
Démonstration de (iii)SoientAune partie fermée deXetKune partie compacte la conte-nant. CommeXrAest ouvert, il suffit de constater quune familleRest un recouvrement ouvert deAsi, et seulement si,U∪{XrA}est un recouvrement ouvert deK.¤
COROLLAIREPour quune partieK⊂Xsoit compacte, il faut et il suffit que queK muni de la topologie induite soit un espace compact.
Cf. cours dAnalyse [17], exercice 10.17.4.
EXEMPLE 2SoitXun espace topologique séparé. Lensemble{(K(X))des parties de la formeXrK, oùK∈K(X)est une base deÞltre surX.
Utilisant la notion deÞltre on peut donner une caractérisation utile des espaces compacts. Mais tout dabord
464
TOPOLOGIE
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Parties et espaces compacts
1.5
DEFINITION 2On dit quunÞltreUest unultraÞltresil est maximal, i.e. si toutÞltreF plusÞn queU, i.e.F⊃U, est égal àF.
REMARQUE ultraÞltre.
THEOREME
(i)
(ii)
Par le principe de maximalité de Hausdorff, toutÞltre est contenu dans un
SoitXun espace topologique séparé. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
(a)Xsoit compact. T (b) Pour toute familleBdensembles fermés telle queB=∅, il existe une B∈B sous-familleÞnie deBdont lintersection est vide. T (c) Pour toute base deÞltreBformées densembles fermés, on aB6=∅. B∈B (d) Tout ultraÞltre surXest convergent. Q TychonoffSi(Xj)est une famille despaces compacts, alorsXjest compact. j∈J j∈J
Démonstration de (i) (a)⇐⇒(b)Il suffit de passer aux complémentaires. (b)⇐⇒(c)Cest la contraposition. (c)⇒(d)SoitUun ultraÞltre. La famille des adhérencesApourA∈Uest une base T deÞltre satisfaisant à (c). Soit doncx∈A. Pour tout voisinageVdex, on a A∈U V∩A6=∅pour toutA∈U, doncV∈Upar la maximalité deU. Ceci montre queU converge versx. (d)⇒(c)Par la remarque, il existe un ultraÞltreUplusÞn queB. Cet ultraÞltre converge donc vers unx∈X. SoitB∈B. On aB∈Uet, pour tout voisinageVdex, on a aussiV∈U, doncB∩V∈U, ce qui montre queB∩V6=∅. On en déduit que T x∈B=B, ce qui montre queB6=∅. B∈B Q Démonstration de (ii)SiUest un ultraÞltre surXj, alorspr (U)est une base de j∈J j pothèse chaqu Þltre et elle engendre un ultraÞltre surXje. Par hy prj(U)converge, donc aussi U.¤