Calculabilite´ et complexite´oCours n 4Nicolas (Miki) Hermann´LIX, Ecole Polytechniquehermann@lix.polytechnique.fr´ ´Miki Hermann Calculabilite et complexite (4)Reductions´Les classes P, NP, PSPACE, EXP, ... contiennent une infinite´ delangages.Question : Comment classifier des langages dans une classe?Reponse´ : Par leur difficulte´ de solution.Question : Comment dire que le langage/probleme` B est au moinsaussi difficile que le langage/probleme` A?´Reponse´ : Par le concept de reduction.´ ´Miki Hermann Calculabilite et complexite (4)´ ´Definition de la reduction de Karp (many one)`Soit A et B deux langages/problemes A est polynomialement∗ ∗´ `(logarithmiquement) reductible a B s’il existe une fonction R: Σ → Σ´calculable par une machine de Turing deterministe en tempspolynomial (en espace logn), telle que pour chaque mot x la conditionsuivante est satisfaite :x∈ A si et seulement si R(x)∈ BR s’appelle une reduction´ polynomiale (logarithmique) de A a` BReductions´A se reduit´ a` B s’il existe une transformation R, telle que pour chaqueentree´ x∈ A elle calcule l’entree´ equiv´ alente R(x)∈ B.La transformation R ne peut pas etreˆ trop couteuseˆ !´ ´Miki Hermann Calculabilite et complexite (4)Reductions´A se reduit´ a` B s’il existe une transformation R, telle que pour chaqueentree´ x∈ A elle calcule l’entree´ equiv´ alente R(x)∈ B.La transformation R ne peut pas etreˆ trop couteuseˆ !´ ´Definition de la reduction de Karp (many one)`Soit A et B ...
Les classesP,NP,PSPACE,EXP une infinit ´e . . contiennent, . de langages.
Question : ?Comment classifier des langages dans une classe Re´ ponse : solution. dePar leur difficulte´ Question :Comment dire que le langage/proble` meBest au moins aussi difficile que le langage/proble` meA? R´eponse:Par le concept dere´ duction.
Aude´a`tiersBs’il existe unetransformationR, telle que pour chaque entreex∈A’eelullccaleeluqvilanetn´reee´teR(x)∈B. ´ La transformationRentuepoptrˆucosˆpareete!uste
Re´ductions Aauite`dr´seBs’il existe unetransformationR, telle que pour chaque entre´ ex∈Aetnelaviuqe´e´etrenl’lecualecellR(x)∈B. La transformationR teuse !ne peut pas etre trop couˆ ˆ D ´ finition de la re´ duction de Karp (many-one) e SoitAetB mesdeux langages/proble`Aestpolynomialement (logarithmiquemente`at)irb´leducBs’il existe une fonctionR: Σ∗→Σ∗ e calculable par une machine de Turing d ´ terministe entemps polynomial(enespacelogn), telle que pour chaque motxla condition suivante est satisfaite : x∈Asi et seulement siR(x)∈B Rs’appelle uner´eductionpolynomiale (logarithmique) deA`aB Miki Hermann Calculabilite´ et complexite´ (4)
Th´eoreme ` SiRal´retsontiuceddeAa`BetR0la re´ de ductionB`aC, alors la compositionR∙R0 duction deest une re´Aa`C.
)
Lesr´eductionssecomposent.
Th ´ ` me eore SiR de ductionest la re´Aa`BetR0alondeuctir´edB`aC, alors la compositionR∙R0 de ductionest une re´A`aC.
)(4´eitexplomctee´tilibaluclaannCHermMiki
Ilfautfaireattentionauxr´eductionslogarithmiques.
L’ide´ e de la preuve :
x∈A≡R(x)∈B y∈B≡R0(y)∈C x∈A≡R0(R(x))∈C
tcoisnRe´ud
e´telitilubaaCclmanniHerMik
Conventio´duct=r´etioneducaimoelpnoinylo n :r Notation :A∝BouABsiAiu`taes´rdeB. Vous pouvez aussi voir A∝pmBouApmB’uli’sgarpminaqtexndu´eioctd’iterunmany-one polynomiale.
4)e(t´xilempconostiucedR´
mpl´Coeetud4()
On peut prendre pourCles classesNP,PSPACE,EXP aussi, . et . .P sionutiliselesr´eductionslogarithmiques.
SoitCme`e/pgeblro´eitexplgaanel.LalcenumocedessAest dit C-difficile mesi pour chaque langage/proble`B∈ C,B`saitdu´eerA. Si le langage/proble` meAestC-difficile etA∈ C, on dit queAest C-complet. Probl`emesC `a re´ mes les plus difficiles soudre-complets = les proble` dans la classeC