Notions dephysique statistiqueD u microscopique au macroscopique23 N = 10 Le postulat fondamental Ensembles statistiquesi) Système isolé : N particules dans un volume V. On connaît E.Ensemble microcanoniqueii) Système en contact avec un thermostat (et un réservoir de particules). E (et N) sont définis en moyenne. Ensemble (grand) canoniqueDistributions de probabilitési) Microcanonique : P = c si E = E, 0 sinon m mii) Canonique : E = E + E « Interaction faible » (R t R = réservoir, t = totale)L’ensemble « système + réservoir » est isolé, Eest t constante : une seule variable, E.P(E) = C (E, E) t (E), (E ), (E, E) R R tnombre de configurations du système, du réservoir, du système total isolé.Distributions de probabilités(E) = (E) (E – E)R t ERP(E) = C (E) (E – E)R t croît très vite avec E, décroît très vite Ravec E: la distribution de probabilité est piquée autour de l’énergie la plus probable.Distributions de probabilités ∂ln ω E ∂ln ωE∂ R Rln P E= −∂ E ∂E ∂ER∂ln ω E ∂ln ω E R RβE= et β E =R R∂ E ∂ ER1βE= β E =R R k TBDistributions de probabilités• Lien avec l’entropie :S = k ln B• S = S + S , à maximiser…t R Le « facteur de Boltzmann »• Microétat d’énergie E du système :mProbabilité P proportionnelle à m (E – E ) avec E << E Ludwig BoltzmannR t m m t Né le 20 Février 1844 à Vienne, Autriche D écédé le 5 O ctobre 190 6 à D uino (près ∂ de Trieste), Autriche ln ...
i) Système isolé : N particules dans un volume V. On connaît E. Ensemblemicrocanonique
ii) Système en contact avec un thermostat (et un réservoir de articules).E (et N) sont définis en moyenne. Ensemble(grand)canonique
)i
ii)
Distributionsde probabilités
Microcanonique
: Pm= c si Em= E, 0 sinon Canonique: Et= E + ER« Interaction faible » (R = réservoir, t = totale) L’ensemble « système + réservoir » est isolé, Etest constante : une seule variable, E. P(E) = C(E, Et)
(E),R(ER),(E, Et) nombre de configurations du système, du réservoir, du système total isolé.
Distributionsde probabilités
(E) =(E)R(Et– E) ER = P(E) C(E)R(Et– E)
édcroîttrèsvite
croît très vite avecE,R avecE: la distribution de probabilité est piquée autour de l’énergie la plus probable.
Distributionsde probabilités
∂=∂lnωEE ∂ElnPE∂E−∂ln∂EωRRR
∂lnωRER βE = ∂ln∂EωEet βRER ∂ =ER
βE =βRER =kB1T
•
•
Distributionsde probabilités
Lien avec l’entropie:
S = kBln
+ S ser… St= SR, à maximi
Le « facteur de Boltzmann »
•Microétatd’énergie Emdu système :
Probabilité Pmproportionnelle à R(Et– Em) avecEm<< Et
Ludwig Boltzmann Né le 20 Février 1844 à Vienne, Autriche lnωREt−Em ≈lnωREt −Em∂∂ElnωREtéDOc5brtodécéel096àuDe1sdeino(prècirtuA,)etseirTleeltuac(heil)eIatemtn R ¿lnωREt −βREm=lnωREt −β Em
•
Le « facteur de Boltzmann »
« Emtotalement négligeable devant Et: la relation précédente est une égalité stricte »
− ωREtEm=ωREtexp−βEm
Boltzmann
exp−βEm m P=∑
∑exp−βEn n
Le potentiel chimique
EnsembleGrand Canonique: système en contact avec un réservoir de particulesE + ER= Et N + NR= Nt
(E, N)=(E, N)R(Et– E, Nt-N)
, N - N P(E, N)= C(E, N)R(EtE–REtNR)
Le potentiel chimique
βE=βE=
1 R RkBT
∂ ∂NlnP∂=ln∂ωNN∂−ln∂NωRRNR
αN ∂ =ln∂NωNet αRNR ∂ =ln∂ωNRRNR
αN =αRNR
Distribution d'équilibre
Microétat « Em, Nm» du système :
P p – N ) mroportionnelle àR(Et– Em, Ntm
Em<< Et et Nm<< Nt −N lnωREt−Em, Nt m = lnωREt, Nt −Em∂∂ERlnωREt, Nt