6[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Enoncés 1Etude du groupe symétrique Exercice 7 [ 02230 ] [correction]Soit n> 5. 0 0 0a b c a b cMontrer que si et sont deux cycles d’ordre 3 deS ,nExercice 1 [ 02224 ] [correction]2 alors il existe une permutation σ, paire, telle que Soient n un entier supérieur à 2, (i,j)∈{1,2,...,n} tel que i =j et σ∈S .n −1 0 0 0σ◦ a b c ◦σ = a b c .Montrer que σ et τ = i j commutent si, et seulement si,{i,j} est stable parσ.Exercice 8 [ 02231 ] [correction]Soit n> 2 et c la permutation circulaire c = ( 1 2 ... n−1 n ).Exercice 2 [ 02225 ] [correction]Déterminer toutes les permutations σ deS qui commutent avec c.nDansS avec n> 2, on considère une permutation σ et un p-cycle :n c = a a ... a .1 2 p−1Observer que la permutation σ◦c◦σ est un p-cycle qu’on précisera.Exercice 3 [ 02226 ] [correction]Déterminer la signature de : 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8a) σ = b) σ = .3 5 4 8 7 6 2 1 1 3 2 7 4 8 5 6Exercice 4 [ 02227 ] [correction]?Soit n∈N . Déterminer la signature de la permutation suivante : 1 2 ··· n−1 na) σ = .n n−1 ··· 2 1 1 2 3 ... n n+1 n+2 ... 2n−1 2nb) σ = .1 3 5 ... 2n−1 2 4 ... 2n−2 2nExercice 5 [ 02228 ] [correction]Soit n> 2 et τ une transposition deS .na) Montrer que l’application σ7→τ◦σ est une bijection deS versS .n nb) En déduire le cardinal de l’ensembleA formé des permutations paires deS .n nExercice 6 [ 02229 ] [correction]Dans (S ,◦) on considère les permutationsn τ = 1 2 et ...
Exercice 5[ 02228 ][correction] Soitn>2etτune transposition deSn. a) Montrer que l’applicationσ7→τ◦σest une bijection deSnversSn. b) En déduire le cardinal de l’ensembleAnformé des permutations paires deSn.
Exercice 6[ 02229 ][correction] Dans(S,◦)on considère les permutations n τ= 12etσ= 12. . .n k−k a) Calculerσ◦τ◦σpour06k6n−2. b) En déduire que tout élément deSnpeut s’écrire comme un produit deσet de τ.
Exercice 7[ 02230 ][correction] Soitn>5. 0 0 0 Montrer que sia b ceta b csont deux cycles d’ordre 3 deSn, alors il existe une permutationσ, paire, telle que −10 0 0 σ◦a b c◦σ=a b c.
Exercice 8[ 02231 ][correction] Soitn>2etcla permutation circulairec1 2= (n. . .−1n). Déterminer toutes les permutationsσdeSnqui commutent avecc.
Exercice 5 :[énoncé] a) L’applicationσ7→τ◦σest involutive, donc bijective. b) L’applicationσ7→τ◦σtransformeAnenSn\Andonc CardAn=CardSn\An, orSnest la réunion disjointe deAnet deSn\Andonc suite 1n! CardAn=CardSn=. 2 2
b) Il est « connu »que toute permutation deSnpeut s’écrire comme produit de transpositions de la formek k+ 1. Ces dernières peuvent s’écrire comme −1n−1n−1 produit deσ, deτ, et deσ. Orσ=Id et doncσ=σet par conséquent, −1 σpeut s’écrire comme produit deσ.
Exercice 7 :[énoncé] −1 Notons queσ◦a b c◦σ=σ(a)σ(b)σ(c). 0 00 Soitσ:Nn→Nnune permutation définie par :σ(a) =a ,σ(b) =betσ(c) =c. Siσest paire alors le problème est résolu. Siσest impaire alors soitc6=d∈Nn\ {a, b, c}etτ=c d. σ◦τest une permutation paire satisfaisante.
Exercice 8 :[énoncé] k−1 Pour commencer, notons que, pour toutk∈ {1, . . . , n}c(1) =ket par −(k−1) conséquentc(k) = 1. Soitσune permutation commutant aveccn. −(k−1) Posonsk=σ(1)∈ {1,2, ..., n}ets=c◦σde sorte ques(1) = 1. Commeσetccommutent,setccommutent aussi et on a pour tout26i6n, (i−1)−(i−1) s=c◦s◦cd’où (i−1)−(i−1) (i−1) (i−1)−(i−1) s(i) =c◦s◦c(i) =σ◦s(1) =σ(1) =icarc(i) = 1. k Par conséquents=Id puisσ=c. k Inversement les permutations de la formecavec16k6ncommutent avecc.