2008 – 2009 DS no 5 Correction Exercice 1 Soit u et v deux suites adjacentes avec u croissante et v décroissante. D'après le résultat (2), on a pour tout entier naturel n : u0 6 u1 6 · · · 6 un 6 vn 6 · · · 6 v1 6 v0 En conséquence et d'après le résultat (3) : – La suite u est croissante et majorée par v0, donc converge vers le réel ?. – La suite v est décroissante et minorée par u0, donc converge vers le réel ??. D'après le résultat (1), lim n?+∞ un ? vn = 0 ? limn?+∞un = limn?+∞ vn ? ? = ? ? On a démontré que deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite . Exercice 2 1. Montrons par récurrence sur n, que, pour tout n, un = 1 + 12 5n . • Initialisation : u0 = 13 = 1 + 12 50 donc c'est vrai au rang 0. • Hérédité : supposons que un = 1+ 12 5n pour un entier n. Alors un+1 = 1 5un+ 4 5 = 1 5(1+ 12 5n )+ 4 5 = 1 5+ 12 5n+1+ 4 5 = 1+ 12 5n+1 La propriété est donc démontrée au rang n+1.
- u? ? v?
- limite ?
- n?1
- abscisse du milieu du segment