La lecture à portée de main
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Je m'inscrisDécouvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Je m'inscrisDescription
Sujets
Informations
Publié par | profil-zyak-2012 |
Publié le | 01 octobre 2003 |
Nombre de lectures | 57 |
Langue | Français |
Extrait
Th`ese de Doctorat de Math´ematiques de
l’Universit´e Joseph Fourier (Grenoble I)
Quelques applications des m´ethodes
effectives en g´eom´etrie analytique
Dan Popovici
soutenue a` Grenoble le vendredi 24 octobre 2003 devant le jury:
Laurent Bonavero (Universit´e de Grenoble 1)
Jean-Pierre Demailly (Universit´e de Grenoble 1) (directeur)
Christiaan Peters (Universit´e de Grenoble 1)
Nessim Sibony (Universit´e de Paris Sud)
Henri Skoda (Universit´e de Paris 6) (Pr´esident)
au vu des rapports de:
Bo Berndtsson (Universit´e de Go¨teborg)
Nessim Sibony (Universit´e de Paris Sud)
1Quelques applications des m´ethodes
effectives en g´eom´etrie analytique
Dan POPOVICI
2R´esum´e. On g´en´eralise d’abord le th´eor`eme de prolongement L d’Ohsawa-Takegoshi-
Manivel au cas des jets de sections holomorphes d’un fibr´e en droites hermitien au-dessus
d’unevari´et´eka¨hl´erienne faiblementpseudoconvexe. Ondonneensuiteuned´emonstration
simple, en ´etudiant un courant de type (1,1), d’un r´esultat d’Uhlenbeck et Yau qui avait
permis d’´etablir la correspondance de Kobayashi-Hitchin sur les vari´et´es ka¨hl´eriennes
compactes. Dans la troisi`eme partie on ´etudie une conjecture sur l’existence de r´egu-
larisations des courants quasi-positifs ferm´es, avec controˆle des masses deMonge-Amp`ere,
qui permettrait d’obtenir une nouvelle caract´erisation des vari´et´es de Moishezon g´en´e-
ralisant celles de Siu et de Demailly qui r´epondaient a` la conjecture de Grauert-Riemen-
schneider. Ondonneuneestimationuniformedelapertedepositivit´edansleth´eor`emede
r´egularisationdescourantsdeDemaillyetonobtientuneversioneffective delag´en´eration
nglobale des faisceaux d’id´eaux multiplicateurs sur un ouvert pseudoconvexe deC .
Mots-cl´es: Courant quasi-positif ferm´e, ensemble analytique, faisceau d’id´eaux multi-
plicateurs, faisceau de jets, fibr´e holomorphe hermitien, fonction plurisousharmonique,
masses de Monge-Amp`ere, nombre de Lelong, sous-fibr´e faiblement holomorphe, vari´et´e
ka¨hl´erienne faiblement pseudoconvexe
2Abstract.WegeneralizefirsttheOhsawa-Takegoshi-ManivelL extensiontheoremtothe
case of jets of sections of Hermitian holomorphic line bundles on weakly pseudoconvex
Ka¨hler manifolds. Then we give a new simple proof of a theorem of Uhlenbeck and Yau
that was the main technical difficulty in their proof of the Kobayashi-Hitchin corres-
pondence on compact Ka¨hler manifolds. This is done via a (1,1)-current interpreted a
posteriori as the curvature current of some quotient bundle. Thirdly, we investigate a
conjecture on the existence of regularizations of closed almost positive currents whose
Monge-Amp`ere masses are under control on a compact not necessarily Ka¨hler manifold.
This would yield a new characterization of Moishezon manifolds generalizing those of Siu
and Demailly given in response to the Grauert-Riemenschneider conjecture. We give a
uniform estimate of the loss of positivity in Demailly’s regularization-of-currents theorem
and an effective version of the global generation property of multiplier ideal sheaves on
npseudoconvex open sets ofC .
´CLASSIFICATION MATHEMATIQUE
32J25, 32U05, 32U40, 32J27, 14C30, 53C05
2Jedoisa`mondirecteurdeth`eseJean-PierreDemaillytoutemaformationmath´ematique
de recherche. Les mots ne pourraient assez exprimer ma reconnaissance.
Je remercie ´egalement les rapporteurs et les membres du jury qui m’honorent par leur
participation.
Jepenseaussi`amafamilleeta`mesamisdontj’aitoujoursappr´eci´elesencouragements.
34Table des mati`eres
0 Introduction 6
21 Un th´eor`eme de prolongement L de jets de sections holomorphes d’un
fibr´e en droites hermitien 14
1.0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.0.2 Rappels et pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.0.3 D´emonstration du th´eor`eme 1.0.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.0.4 Estimation de la solution dans le th´eor`eme 1.0.1.5 . . . . . . . . . . 33
1.0.5 Un th´eor`eme de comparaison de type Rauch . . . . . . . . . . . . . 35
1.0.6 Estimation finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.0.7 Le cas d’une sous-vari´et´e singuli`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Une preuve simple d’un r´esultat d’Uhlenbeck et Yau 47
2.0.8 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
∞2.0.9 Rappels et pr´eliminaires: cas C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.0.10 Le cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.0.11 Un lemme sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.0.12 D´emonstration du th´eor`eme 2.0.8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 Versuner´egularisationdescourantsaveccontrˆoledesmassesdeMonge-
Amp`ere 76
3.0.13 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.0.14 Rappels et pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.0.15 Estimation de la perte de positivit´e pour les courants r´egularisants 88
3.0.16 Coh´erence des faisceaux d’id´eaux multiplicateurs avec estimations . 98
3.0.17 Annexe A: Un probl`eme de th´eorie du potentiel en une variable
complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.0.18 Annexe B: Controˆle local des masses de Monge-Amp`ere . . . . . . 112
4 Bibliographie 117
5Chapitre 0
Introduction
L’objectif de cette th`ese est d’´etablir des r´esultats effectifs en g´eom´etrie analytique
complexe en vue d’applications a` l’´etude des vari´et´es compactes, non n´ecessairement
ka¨hl´eriennes,parexempleentermesd’existencedecourantspositifsferm´es.Lamotivation
premi`ere´etaitdepoursuivrel’´etudedecertainesquestionssoulev´eesparlasolutiondonn´ee
par Y. T. Siu ([Siu84, 85]) a` la conjecture de Grauert-Riemenschneider ([GR70]) et
par la g´en´eralisation, via des in´egalit´es de Morse holomorphes, due a` J.- P. Demailly
([Dem85]). Malgr´e des avanc´ees importantes dans cette direction, comme celles de L.
Bonavero ([Bon93]), de S. Ji et B. Shiffman ([JS93]), ou celle plus r´ecente et spectaculaire
de J.- P. Demailly et M. Paun ([DP01]), beaucoup reste `a faire et un certain nombre de
conjectures semblent encore hors de port´ee.
Deux types de m´ethodes effectives sont au coeur de cette th`ese. D’une part, il est fait
2un ample usage d’estimations L , notamment le th´eor`eme de prolongement d’Ohsawa-
Takegoshi-Manivel([OT87],[Man93]),leth´eor`emededivisiondeSkoda([Sko72b],[Sko78]),
2et les estimations L de H¨ormander pour l’op´erateur de Cauchy-Riemann ([H¨or65]).
D’autrepart,lath´eoriedescourants(quasi)-positifsferm´es,initi´eeparP.Lelong([Lel57]),
est au centre des pr´eoccupations de la derni`ere partie. Le th´eor`eme de r´egularisation des
courants deJ.-P.Demailly([Dem92])constitue `alafoisl’instrument etle pointded´epart
des investigations dans cette partie.
Voici une description des probl`emes abord´es dans la th`ese.
Premi`ere partie: une g´en´eralisation du th´eor`eme d’Ohsawa-Takegoshi
Soit X une vari´et´e complexe faiblement pseudoconvexe de dimension n, munie d’une
m´etrique ka¨hl´erienne ω, et Y ⊂X une sous-vari´et´e lisse ferm´ee de codimension r d´efinie
0comme le lieu des z´eros d’une section holomorphe s ∈ H (X,E) d’un fibr´e holomorphe
hermitien E →X de rangr. T. Ohsawa et K. Takegoshi ([OT87]) ont r´esolu le probl`eme
2du prolongement des fonctions holomorphes, avec estimations de la croissance L , de la
sous-vari´et´eY `alavari´et´eambianteX.Ult´erieurement, L.Manivel ([Man93])ag´en´eralis´e
ce r´esultat dans le cadre plus g´eom´etrique des sections holomorphes d’un fibr´e hermitien
satisfaisant certaines conditions de positivit´e.
Lepremierobjectifdecetteth`esea´et´eceluideg´en´eraliserleth´eor`emedeprolongement
62L d’Ohsawa-Takegoshi-Manivel aucasdesjetsdesectionsd’unfibr´ehermitien.SoitLun
fibr´eendroiteshermitiensatisfaisantcertainesconditionsdepositivit´e,etk≥ 0unentier.
k+1Alors, tout “k-jet transverse `aY,” a` savoir toute section du faisceau de jetsL⊗O /I ,X Y
2qui satisfait une certaine condition de croissance L , peut ˆetre prolong´ee en une section
2holomorphe globale de L sur X, avec controˆle de la norme L sur un compact arbitraire
de X.
k+10 n ⋆Pourunk-jetf ∈H (X,Λ T X⊗L⊗O /I )etunefonctionρ>0,nousd´efinissonsX Y
en tout pointy∈Y la norme ponctuelle pond´er´ee parρ et associ´ee a` la sections, comme
1 2 k 2˜ ˜|∇ f| |∇ f|2 2˜|f| (y):=|f| (y)+ (y)+···+ (y),s,ρ,(k) 1 k2 2r 2(r+1) r 2(r+k)r r|Λ (ds)| ρ |Λ (ds)| ρ
0 n ⋆˜ou` f ∈H (U,Λ T ⊗L) est un prolongement local de f a` un petit voisinage U ⊂X deX
j ∞ n ⋆ j