DÉfinitionSoientFun point,Dune droite ne passant pas parFete >0. On appelleconique d’excentricitÉe, de foyerFet de directrice associÉeDl’ensembleCdes points Mdu plan qui vÉrifient la relation: M F=e d(M,D)
•Sie <1,Cest uneellipse
•Sie= 1,Cest uneparabole
•Sie >1,Cest unehyperbole
1
1 2 2 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6
7
8
8 8 9 10
Remarque M F •Une coniqueCpeut s’interprÉter comme la ligne de niveauede la fonctionM7→, oÙH M H dÉsigne le projetÉ orthogonal deMsurD.
•SihdÉsigne la distance entreFetD, on appelleparamÈtre de la conique, notÉp, le rÉeleh.
•On appellesommetde la coniqueCses Éventuelles intersections avec l’axe focal. On le noteraS 0 et ÉventuellementS.
PropriÉtÉOn suppose ici quee6= 1(la conique envisagÉe est donc soit une ellipse, soit une hyperbole). AlorsCpossÈdeun unique centre de symÉtrieappelÉ le centre deC
DÉmonstrationOn a que:Montrons l’existece d’un centre de symÉtrie. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 M∈ C ⇔M F=e d(M,D)⇔x+y=e(x+h)⇔(1−e)x+y−2epx−p= 0⇔ 2 ep p 2 2 2 (1−e)(x−) +y= 2 2 1−e1−e ep ~ ~ On noteAle point de coordonnÉes(2,0)dans(F, i, j)travaille maintenant dans le repÈre. On 1−e ~ ~ centrÉ enAtel que, siM(x, y)dans(F, i, j), alorsM(X, Y)dans le nouveau repÈre. Les formules de changement de repÈre sont: ep X=x−;Y=y 2 1−e 2 2 2 2p Dans ce nouveau repÈre,Ca donc pour Équation cartÉsienne(1−e)X+Y=2montre que. On 1−e Aest un centre de symÉtrie deCen vÉrifiant que le symÉtrique deM(X, Y)est Également un point deC.
1.1 L’ellipse 1.1.1 Equation rÉduite
ThÉorÈmeOn suppose ici quee <1, i.e.Cest une ellipse de centreA. 2 2 x y •Il existe deux rÉelsa, bvÉrifiant0< b < apour lesquels l’Équation2+2= 1est appelÉe a b Équation rÉduitedeC.
•L’axe focal(AX)est appelÉgrand axe, Le rÉelaest appelÉdemi-grand axeetbdemi- petit axe
•La distancec=ea >0s’appelledistance focale
2 2 2c a •On posec=AF:c=a−eb , =etAS= a e •Le pointAest appelÉcentre de l’ellipse
0 •Les sommetsSetSont pour coordonnÉesS(−a,0)etS(a,0).
2 b •La distance entre le foyer et la directrice est:h= c
2
DÉmonstrationOn considÈre une ellipseEde directriceD, de foyerFet d’excentricitÉe <1. On considÈre un repÈre orthonormÉ de centreFtel que la droiteDait pour Équationx=−h. Alors
2 2 2 M∈ E ⇔M F=e×d(M,D)
2 2 2 2 2 OrM F=x+yetd(M,D) = (x+h). On en dÉduit que
2 2 2 2 2 2 2 2 y2hy e e h e hx e h 2 2 x+− −= 0⇔(x−=) + 2 2 2 2 2 2 2 1−e1−e1−e1−e1−e(1−e)
2 e h On fait maintenant un changement de repÈre, en prenant comme nouvelle origineA(2,0)et on 1−e noteXetYles coordonnÉes deMOn a donc:dans ce nouveau repÈre.
On pose alors
et
1.1.2
2 2 2 2 2 Y e h X Y 2 M∈ E ⇔X+ =⇔2 2+2 2= 1 2 2 2e he h 1−e(1−e) 2 2 2 2 (1−e) (1−e)
ParamÉtrisation
PropriÉtÉ ∀t∈R
eh p a= = 2 2 1−e1−e
p eh p 2 b=√=√=a1−ae < 2 2 1−e >0 1−e
2 2 x y SoitEl’ellipse d’Équation2+2= 1oÙ0< b < a. a b
x(t) =acost y(t) =bsint
On peut la paramÉtrer par:
DÉmonstrationEn effet, x y x y 2 2 M∈ E ⇔) = 1( ) + ( ⇔ ∃t∈R/(,) = (cost,sint)⇔ ∃t∈R/(x, y) = (acost, bsint) a b a b
1.1.3
Tangentes
2 2 x y ThÉorÈmeSoitEune ellipse d’Équation2+2= 1oÙ 0 <b <a.SoitM0un point deE. a b tangente ÀEenM0a pour Équation: x0x yy0 + = 1 2 2 a b
3
La
DÉmonstrationSoitM0(x0, t0)correspondant au paramÈtret0, oÙx0=acost0ety0=bsint0. 0 0 ∀t∈R, x(t) =−asintety(t) =bcost. Ent=t0, le vecteur~u(−asint0, bcost0)dirige la tangente. Cette derniÈre a donc pour Équation(bcost0)x+ (asint0)y=c. OrM0appartient À cette tangente. En remplaÇant, on trouve alors que la tangente admet une Équation de la forme:
cost0xsint0y x0x y0y bcost0x+asint0y=ab⇔1+ = ⇔1+ = 2 2 a b a b
1.2 La parabole 1.2.1 Equation rÉduite
p ThÉorÈmeOn suppose ici quee= 1. NotonsA(−,0). 2 Dans le repÈre centrÉ enA, la paraboleCadmet une Équation diterÉduitedu type:
Aest appelÉ sonsommet
2 y= 2px
DÉmonstrationOn considÈre la paraboleCde directriceDet de foyerFse place dans un. On repÈre orthonormÉ de centreFtel que la droiteDait pour Équationx=−h. SoitMun point de coordonnÉes(x, y). On a alors: h 2 2 2 2 2 2 M∈ C ⇔x+y= (x−h)⇔y−2xh−h= 0⇔y−2h(x= 0+ ) 2 Or ici, commee= 1,p=h. −p On fait donc un changement de repÈre en prenant comme nouvelle origine le pointtA(,0)on. Si 2 note(X, Y)le coordonnÉes deMdans le nouveau repÈre, on a les formules de changement de repÈre suivantes: p X=x+Y=y 2 2 L’Équation deCdans ce nouveau repÈre est donc bienY= 2pX.
1.2.2
ParamÉtrisation
PropriÉtÉ
2 SoitCla parabole d’Équationy−2px= 0peut la paramÉtrer par:. On ∀t∈R,
2 t x(t) = 2p
y(t) =t
RemarqueSous cette forme, on peut Étudier ses branches infinies. Quandt→+∞, on a que y(t) 1 =→0. On en dÉduit que la parabole a des branches paraboliques selon(Ox), ce qui n’est guÈre x(t)t surpenant vu son nom.
4
1.2.3
Tangentes
2 ThÉorÈmeSoitCla parabole d’Équation rÉduitey−2px= 0etM0(x0, y0)un point deC. La tangente ÀCau pointM0a pour Équation:
y0y=p(x0+x)
2 t0t00 DÉmonstrationOn a queC= (x(t) =, y(t) =t). Ent=t0, x(t0) =, y(t0) = 1d’oÙ les 2p p t0 vecteurs(,1)et(t0, p)dirigent la tangente. p La tangente a pour Équation−px+y0y+c= 0. On cherchec. OrM0(x0, y0)appartient À la tangente. Par suite,c=−px0. La tangente s’Écrit donc:−px+y0y−px0= 0⇔y0y=p(x+x0).
1.3 Hyperboles 1.3.1 Equation rÉduite
ThÉorÈmeDans le repÈre centrÉ enA, centre de symÉtrie, ’hyperboleHde directriceD, de foyerFet d’ÉxentricitÉe >1admet uneÉquation rÉduitede la forme:
2 2 x y −= 1 2 2 a b La distancec=aeest appelÉedistance focale 2 b •p= a 2 2 2 •c=a+b
c •e= a 2 b •h= c 2 a •.La distance entre la directrice et le centre est c
DÉmonstrationOn considÈre une hyperboleHde directriceD, de foyerFet d’excentricitÉe >1. On considÈre un repÈre orthonormÉ de centreFtel que la droiteDait pour Équationx=−h. On a que:
2 2 2 2 e h y e h 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 M∈ H ⇔x+y=e(x+h)⇔(1−e)x+y−2e xh=e h⇔(x−=) + 2 2 2 2 1−e1−e(1−e)
2 2 e h On fait maintenant le changement de repÈre suivant, on prenant comme nouvelle origineA(2,0). 1−e Si on noteM(X, Y)les coordonnÉes deMdans ce nouveau repÈre, on obtient donc comme Équation deh: 2 2 2 Y e h 2 X+ = 2 2 2 1−e(1−e)
5
En divisant par le second membre, on a alors le coefficient deXest positif alors que celui deYest 2 nÉgatif (car1−e <0). On peut donc Écrire que:
2 2 2 2 2 2 2 (1−e)X1−e Y X Y M∈ H ↔1+ = ⇔ −= 1 2 2 2 2 2 2 e h e h a b √ eh eh 2 √ oÙa=2>0etb=2=a e−1. e−1 1−e
1.3.2
ParamÉtrisation
PropriÉtÉ
2 2 x y SoitHune ellipse d’Équation2−2= 1. On peut la paramÉtrer∀t∈Rpar: a b
x(t) =±a(t)
y(t) =bsh(t)
x y x2y2 DÉmonstrationSoitM(x, y)un point deH. et vÉrifient que( )−( ) = 1. Comme est a b a b y x bijective deRdans lui-mme, il existe donct∈Rtel quesh(t) =en dÉduit que. ON =±ch(t). b a
1.3.3
Tangentes
2 2 x y ThÉorÈmeSoitHune ellipse d’Équation2−2= 1. a b La tangente ÀHenM0a pour Équation: x0x y0y + = 1 2 2 a b
DÉmonstration
LaissÉe au soin du lecteur.
1.3.4 Asymptotes Contrairement À l’ellipse, l’hyperbole n’est pas bornÉe. On peut donc s’intÉresser À ses asymptotes.
2 2 x y PropriÉtÉSoitHune hyperbole d’Équation2−2= 1. a b x y Ses asymptotes sont les droites d’Équation±= 0. a b
DÉmonstrationPrenons la branche de "droite" paramÈtre parx(t) =a(t);y(t) =b(t). y(t)b En+∞, on a quex(t)→ ∞, y(t)→ ∞. Le rapporttendversb . De plus,y(t)−x(t)→0. On x(t)a a x y en dÉduit que la droite d’Équation−= 0est une asymptote oblique ÀH. a b x y En−∞, on trouve par la mme mÉthode que+ = 0est asymptote oblique ÀH. a b
6
DÉfinition-propriÉtÉAvec les mmes notations, √ • HestÉquilatÈre⇔ses asymptotes sont orthogonales⇔e =2
•dans ce cas, si on note(v~,u~,E)le repÈre orthonormal direct obtenu par une rotation d’angle 2 −π a des vecteurs de base; l’Équation deHdans ce nouveau repÈre estxy= 4 2
DÉmonstrationOn effectue donc le changement de repÈre suivant: π π X= cos(−)x−sin( )y 4 4 π π Y= sin(−)x+ cos(−)y 4 4 Ce qui donne √ √ 2 2 X= (x+y) ;Y=−(x−y) 2 2 En replaÇant dans l’Équation d eh, on a bien ce que l’on veut.
2
Equations polaires
On cherche À dÉterminer l’Équation polaire d’une conique dans un repÈre dont l’origine On se place donc dans un repÈre d’origineF, et on considÈre une droiteDdÉfinie par polaire du type: h D:ρ=>, h 0 cos(θ−φ)
est unfoyer. une Équation
0h PropriÉtÉSoitDla droite d’Équation polaireρ=. cos(θ−φ) Un Équation polaire de la coniqueCde foyerF=O, de directriceDet d’excentricitÉeest:
eh p ρ= = 1 +ecos(θ−φ+) 1 ecos(θ−φ)
DÉmonstration Siφ= 0La droiteDest la droite d’Équationx=ha que:. On 2 2 2 2 M(x, y)∈ C ⇔(x+y) =e(x−h) Soit(r, θ)un systÈme de coordonnÉes polaires deM(x, y). On a alors que: 2 2 r= (ercosθ−p)⇔r=ercosθ−p ou r=−ercosθ+p On en dÉduit que: −p p r=ou r= 1−ecosθ1 +ecosθ Or(r, θ)et(−r, θ+π)sont des systÈmes de coordonnÉes polaires du mme point. On en dÉduit que la conique est donnÉe par: p r= 1 +ecosθ Cas gÉnÉralIl s’obtient en faisant tourner le repÈre. 7