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Langue | Français |
Extrait
MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
PROGRAMME DE COLLE S05
semaine du 3+11 octobre 2012
NB :seulesp,oropisoe`rmeseoil´eesntions´etgixesee´nosesapt.mo´esdleoitartsn´htsedsn
FONCTIONS USUELLES (II)
Fonctionstrigonome´triques
Vousdevezconnaıˆtre,lesproprie´t´esdep´eriodicite´,deparite´,desym´etrie,ded´erivabilit´e,lesgraphes,leslimites
et l ` les de calcul pour les fonctions sin, cos et tan.
es reg
Proposition.—Soitx∈R,x6≡π[2π]. On poset= tanx Alors2 .
−2t
•cosx= 1t22•sinx=
1 +t1 +t2
La der i`re formule n’est valide que pourx6≡π2 [π].
n e
Interpre´tationgraphique
•
2t
tanx1=t2
−
Savoir-faire :udso´erqe´enuerrtnoitauigonom´etriquedealofmr(efcProgramme S01bis)
cosx= cosa
sinx= sina
tan(x) = tan(a)
acosx+bsinx=c.
Fonctionstrigonome´triquesr´eciproques
Proposition*.—La fonction restreinte sin|: [−π2;π2]→[−1; 1] est une bijection strictement croissante et continue.
Sonappliti´eciproqueArcsin:[−1; 1]→[−π2;π,pourtoutcouple(2e´v]efiirx t)ed´reesl
ca on r
t∈[−π2;π2] etx= sint⇐⇒x∈[−11] ett= Arcsinx
En pratique :pour montrer quet (= Arcsinx)
´vfiiresiernt=x
localisert∈[−π2 π2]
Th´eor`eme.—Propri´et´esdeArcsin—. [ :La fonction Arcsin−11]→[−π2;π2] est strictement croissante et
impaire. Elle est continue sur [−11] et de classeC∞sur ]−11[. De plus
pour toutx∈]−11[Arcsin′(x 1 1) =x2
−
Savoir-faire :tableau de valeurs, tableau de variation et graphe de la fonction
Proposition.—´irpe´teelefiorpsnvsiri´eioctrcnAes:sosnuaifvaLnt
Pour toutt∈[−π2;π2]Arcsin (sint) =t
Pour toutx∈[−11]sinArcsin (x)=x
Pour toutx∈[−11]cosArcsin (x)= 1−x2
Pour toutx∈]−11[tanArcsin (x)=1x−x2
en ecr ue.
Proposition*.—La fonction restreinte cos|: [0;π]→[− est une bijection strictem t1; 1] et contin d´ oissante
Sonapplicationre´ciproqueArccos:[−1; 1]→[0;π]vleup(ruottuoce´irefiopx ter)del´es
t∈[0 π] etx= cost⇐⇒x∈[−11] ett= Arccosx
1
En pratique :pour montrer quet= Arccos (x)
s´vifiercoert=x
localisert∈[0 π]
Th´eore`me.—Proprie´t´esdeArccos—.La fonction Arccos : [−11]→[0;πissante.Elleest]tsescirtemet´dtnorce
continue sur [−11] et de classeC∞sur ]−11[. De plus
pour toutx∈]−11[
Arc−1
cos′(x) = 1−x2
Savoir-faire :tableau de valeurs, tableau de variations et graphe de la fonction
Proposition.—oiAncrocLfanotc:aviusetnte´isse´spleprro´esvfieri
Pour toutt∈[0;π]Arccos (cost) =t
Pour toutx∈[−11]cosArccos (x)=x
Pour toutx∈[−11]sinArccos (x)= 1−x2
−x2
Pour toutx∈[−1; 1] {0}tanAr (x)= 1x
ccos
Corollaire.—
pour toutx∈[−11]
Arcsinx+ Arccosx=π2
Proposition*.—La fonction restreinte tan|:]−π2;π2[→Rest une bijection strictement croissante et continue.
Sonapplicationre´ciproqueArctan:R→]−π2;πuolp(e[2erv´epifirtoutcoux tls)ed´ree
t∈]−π2 π2[ etx= tant⇐⇒x∈Rett= Arctanx
En pratique :pour montrer quet= Arctan (x)
verifier tant=x
´
localisert∈]−π2 π2[
The´ore`me.—Proprie´te´sdeArctan—. :La fonction ArctanR→]−π2;π2[ est strictement croissante et impaire.
ElleestcontinueetmˆemedeclasseC∞surR. De plus
pour toutx∈RArctan′(x=)11+x2
Savoir-faire :tableau de valeurs, tableau de variation et graphe de la fonction
Proposition.—ifielv´erctanonArseuse´´tpoirserpanivs:teitcnofaL
Pour toutt∈]−π2;π2[Arctan (tant) =t
Pour toutx∈RtanArctan (x)=x
1
Pour toutx∈RcosArctan (x)=+2
1x
Pour toutx∈RsinArctan (x)=1x+2
x
Proposition.—
•
•
pour toutx∈R+⋆
pour toutx∈R−⋆
Arctanx+Arctan1=1π2π
x
Arctanx =+ Arctan−
x2
2