La lecture à portée de main
Description
Sujets
Informations
Publié par | colle-mpsi |
Nombre de lectures | 55 |
Licence : |
En savoir + Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
|
Langue | Français |
Extrait
MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
PROGRAMME DE COLLE S17
semaine du 3+1erseptembre 2011
NB :seulesem,srppohte´roe`´etoil´eositionsesap´gixensetnoss.eed´eslartsnomesedsnoit
´
SUITES NUMERIQUES (I)
Convergencedessuitesdenombresre´els
De´finition:Soitu∈RNlee´tesuiesdetembnosrreunℓ∈R. On dit que
n→+∞un=ℓ, si(∀ε >0)(∀n∈N)n≥n0)⇒ |un−ℓ| ≤ε
uconverge versℓ, et on notelim (∃n0∈N); (
n→+∞∈N); (∀n∈N)(n≥n0)⇒(un≥A)
udiverge vers+∞, et on notelimun= +∞si(∀A∈R)(∃n0
udiverge vers−∞, et on notenl→i+m∞un=−∞si(∀A∈R)(∃n0∈N); (∀n∈N)(n≥n0)⇒(un≤A)
Th´eor`eme.—Unicit´edelalimite—.Soitu∈RNsuneumonedetiee´rserbls,(ℓ ℓ′)∈¯R2.
Sil→im+∞un=ℓet limun=ℓ′alorsℓ=ℓ′
n n→+∞
Proposition*.—Unepetitecaract´erisation—.Soitu∈RNnedetiusenuetlseer´esbromℓ∈R.
La suiteuconverge versℓsi et seulement siil existe une suitev, convergente vers 0, telle queu=ℓ+v.
The´ore`me.—Limitefinieetbornitude—.tuseoTobtse´nr.eteuinvcogeereent
Proposition.—Limitesetine´galit´es—.Soituetvsel´esrrembnodesetiusxuedconvergentes.
n→+∞n→+∞vnalorsil existen0∈N que (; tel∀n∈N)n≥n0⇒u
•Silimun<limn< vn
•S’il existen0∈Ntel que (∀n≥n0) un≤vnalorsnl→i+m∞un≤nl→i+m∞vn
The´ore`mesdeconvergence
Proposition.— Suites extraites d’une suite convergente —.Soientu∈RNetℓ∈R.
Siuest convergente de limiteℓalorstoute suite extraite deuest convergente de limiteℓ.
Proposition.—Convergenceparcomple´mentarit´e—.Soient (unlee´te,sbmonrseruiesdeteun)ℓ∈R.
Siles suites (u2n) et (u2n+1aredsemretsedtneemivctpeessreem´etsaiudslepairetimairsngspf)rouconvergent
toutes deux versℓ,alors(un) converge versℓ.
The´or`eme*.—Existenques—.Soit (u v)∈RN×RN(ℓ ℓ′)∈¯Rׯ
cedelimiteparope´rationsalge´bri,R,λ∈R⋆.
•Sinl→im+∞un=ℓ,alorsnli+m|un|=|ℓ|.
→ ∞
limλun) =λ
•Sinl→i+m∞un=ℓ,alorsn→+∞(ℓ.
•Sinl→i+m∞un=ℓetnli+mvn=ℓ′,alorsnl→i+m∞(un+vn) =ℓ+ℓ′.
→ ∞
•Sinl→im+∞un=ℓetnl→i+m∞vn=ℓ′,alorsnl→i+m∞(un×vn) =ℓ×ℓ′.
•Sinl→im+∞un=ℓ6= 0,alorsnl→im+∞1un= 1ℓ,
•Silimun= 0+,alorsl→im+∞1un= +∞.
n→+∞n
1
Exercice1:ConvergenceenmoyennedeCe´sar`o—.Soit (un)n∈N⋆une suite convergente vers 0. On lui associe la
ie par∀n∈N⋆1n
suitedesesmoyennesarithme´tiquesd´efin vn=nXuk. Montrez quevest convergente vers 0.
k=1
The´ore`me.—Existencedelimiteparcomparaison,encadrement—.Soient (u v)∈RNetℓ∈R.
S(∀••nnl→i∈+m∞N|vn| ≤ |un|n→+∞
iun= 0alorsvest convergente et limvn= 0
vergent versℓ
Si••∀unet∈wNcounn≤vn≤wnalorsvest convergente etnl→im+∞vn=ℓ
Si(•∀•nnl→i+m∈∞Nunvn=≥+u∞nalorsvest divergente etnl→im+∞vn= +∞
Th´eore`me.—The´ore`medelalimitemonotone—.Soit (un)∈RNune suitemonotone. Alorsuest convergente
si et seulement siuee.Porn´estbemtnsie´´rceulps
Soituun suitecroissantede nombres reels.
´
◮Siur´jo(deesaneamtsR), alorsuest convergente et limun= supun.
n→+∞n
◮Siu´eorajsmrsloeaaptse’nuest divergente vers +∞: limun= +∞.
n→+∞
Soituun suiteetiorcnass´edde nomb ´ l
res ree s.
◮Siu(eadsnmtniroe´esR et lim) enteun= infun.
, alorsuest convergn→+∞n
◮Siularo´sreeimonptsan’esuest divergente vers−∞: limun=−∞.
n→+∞
De´finition:Soit(u v)∈(RN)2. Les suitesuetvsont ditesadjacentessi
e.santroisu’lseenorctassieent’atlreutecd´
(un−vn)n∈Nest convergente de limite nulle.
The´ore`me.—Th´eor`emedeconvergencedessuitesadjacentes—.Soientuetvdeux suitesadjacentes.
uetvgeernvcoonetesnttnosemilmteˆ.imet
Corollaire.—Soientuetvdeux suites adjacentes. On suppose que (un)րet (vn)ց. Soitℓ∈Rleur limite commune,
alors∀(n p)∈N2 un≤ℓ≤vp
Corollaire*.—The´ore`medessegmentsemboˆıte´s—.Soit (Sn)n∈Nsuite de segments non vides. On supposeune
que
nestostnlseesmges:emboˆıt´∀n∈N Sn+1⊂Sn
la suiteLg(Sn)n∈Ndes longueurs des segmentsSnest convergente vers 0.
Alors l’intersection de tous lesSn:intxileestestnonvideerte´udti`euapnioℓ∈R, tel queTn∈NSn={ℓ}.
Savoir-faire :construction de suites adjacentes par dichotomie.
Exercice2:unthe´or`emed’existencedepointfixe—.Soitf: [a b]→[a b] une fonction croissante. Montrez qu’il
existec∈[a b] tel quef(c) =c.
Th´eor`eme*.—Th´eor`emedeBolzano-Weierstraß—.-revnoouesunreecitsus-e´,enoeptuxertiaDetoutesuiteborn
gente.Pluspr´ecis´ement,
Soit (un)n∈Nune´unseteiberobmeredonisteIlexels.sr´eℓ∈Retϕ:N→N, une application strictement croissante,
telles que
limuϕ(k)=ℓ
k→+∞
2