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Publié par | devoir-mpsi |
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Langue | Français |
Extrait
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MPSIdulyc´eeRabelaishtt:p//pmisai.sbrntuciere.frf.e
DEVOIR LIBRE N˚11
`
PROBLEME 1:PmeˆoynolnobiFedsicca
Soit (Pn)n∈Nsaiuetedlesd´efinipolynˆomtalesnoirapersel:
P0= 0 P1= 1
a`rendrelemardi2avril2013
et∀n∈N Pn+2=XPn+1−Pn
Montrer que pour tout entiern∈N,Pn2+1= 1 +PnPn+2.
Ende´duirequepourtoutentiern∈N,PnetPn+1sont premiers entre eux.
Montrer que pour toutm∈Net pour toutn∈N⋆, on aPm+n=PnPm+1−Pn−1Pm.
Montrer que pour toutm∈Net pour toutn∈N⋆, on aP GCD(Pm+n Pn) =P GCD(Pn Pm).
End´eduirequeP GCD(Pm Pn) =P GCD(Pn Pro`),urest le reste de la division eucli-
dienne demparn.
Conclure queP GCD(Pn Pm) =Pn∧m.
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Fin du sujet