Solutions des Exercices du cours de Theorie de l'Information et Codage cours 11 du 17 mai 2011. 1. Pour tout entier positif m, on definit ?(m) comme le nombre d'entiers positifs ≤ m qui sont premiers avec m. (i) Montrer que ?(m) = m ∏ p|m ( 1? 1p ) , ou les p sont premiers. (ii) Montrer que si a ?m = 1 alors a?(m) ? 1(mod m). • On a clairement pour p premier: ?(p) = p? 1 et plus generalement pour k ≥ 1, ?(pk) = pk ?pk?1. Pour deux nombres premiers entre eux p et q, on ?(pq) = ?(p)?(q). Donc pour m = ∏? i=1 pkii ou les pi sont des nombres premiers distincts, on a: ?(m) = ? ∏ i=1 pkii (1? 1 pi ) = m ? ∏ i=1 (1? 1pi ). • Les entiers b premiers avec m inferieur a m constituent un sous-groupe multiplicatif de Z/mZ (l'inversibilite decoule de l'identite de Bezout). Ce sous-groupe a pour ordre ?(m) et d'apres le Theoreme de Lagrange, l'ordre de tout element de ce groupe divise ?(m) d'ou le resultat.
- qm ?
- ms avec ms
- polynome minimal
- racines de l'unite
- nom polynome
- code reed-solomon
- polynome generateur
- polynome minimal de ?s defini