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Publié par | analyse-mpsi |
Nombre de lectures | 22 |
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Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Généralités
sur
les
fonctions
Exercice 1[ 01733 ][correction]
Déterminer tous les couples(α β)∈
de
deux
variables
Enoncés
(R+?)2pour lesquels il existeM∈Rtel que
∀ >x y0 xαyβ6M(x+y)
Exercice 2[ 01734 ][correction]
SoitAune partie non vide deR2etxun point deR2. On note
d(x A) = in∈fAkx−ak.
a
Montrer qued:R2→Rest lipschitzienne.
1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Soit(α β)solution. Considérons
sur(R+?)2.
On a
f(x y) =xxα+yβy
xα+β
f(x x 2) =x
fbornée impliqueα+β= 1.
Inversement, supposonsα+β= 1.
Siy>xalors
y) =xxαy+1−yα6x+yyxα
06f(yx
Six>yalors idem.
61
Exercice 2 :[énoncé]
Pour touta∈A,d(x A)6kx−ak6kx−yk+ky−akdonc
d(x A)− kx−yk6d(y A).
Ainsi|d(x A)−d(y A)|6kx−yket doncx7→d(x A)est lipschitzienne.
Corrections
2
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