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Publié par | geometrie-mpsi |
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Langue | Français |
Extrait
Etude de l’astroïde
affine euclidien rapporté à un repère orthonormédésigne un plan =(;,) .
On considère la courbedécrite par le point() de coordonnées(())==csonsi33pour∈ℝ.
Cette courbeest appelée astroïde.
1.Allure :
1.a Déterminer les axes de symétrie de la courbe.
1.b Etudier et construire.
Pour la représentation on prendra une unité égale à 4 cm.
1.c Calculer la longueurde la courbe.
2.Etude des centres de courbures :
2.a
2.b
2.c
2.d
2.e
3.
3.a
3.b
4.
4.a
4.b
En tout point régulier() deon note() et() les vecteurs tangents et normaux de la base de
Frénêt.
Donner les composantes des vecteurs() et() .
Déterminer le rayon de courbure( point) au() , pour tout≠0π2 .
On note( centre de courbure au point) le( celui-ci est régulier et on pose) lorsque()=()
lorsque le point() est singulier.
Exprimer les coordonnées de() pour∈ℝ.
On introduit le repère=′(,, par) déterminé=(21+) et=2(1−+) .
Déterminer les coordonnées, notées ((),( point du)) ,() dans le repère′.
En introduisant le paramètreτ=−4π, observer que la courbe′décrite par les points() se déduit
de la courbeà l’aide de transformations géométriques simples à préciser.
Propriété géométrique :
Ecrire une équation de la droite() tangente en() àpour∈ℝ.
Soit() et() les points d’intersection avec les axes de coordonnées de la tangente() àen un
point régulier() . Calculer la longueur()() .
Construction géométrique :
Soit∈ℝfixé. On noteau lieu de() .
Soitle point du cercle de centre déterminé paret de rayon 1 2 (,)=2π.
Montrer que la droite() tangente àenpasse par.
Indiquer une construction géométrique de() à partir du pointseul.
On notele projeté orthogonal desur() .
Donner les coordonnées depuis calculer+.
Faire une figure précisant comment, à partir du pointon peut construire.