èmeMathématiques 4 , niveau avancé page 37Probabilités1. Variables aléatoiresDéfinitionOn rappelle qu’un expérience aléatoire est une expérience dont:— l’ensemble des issues, ou résultats possibles, est connu— l’issue dépend du hasard et n’est pas prévisible. Exemple: Trois jets consécutifs d’une pièce bien équilibrée. (Ce qui revient au même que celui simultané de trois pièces.) L’ensemble des résultats possibles, ou univers, est dans ce cas: U = {PPP; PPF; PFP; FPP; PFF; FPF; FFP; FFF}.Après avoir réalisé une expérience, on s’intéressera plus souvent à une fonction des résultats qu’aux résultats possibles eux-mêmes: ainsi, dans l’expérience consistant à jeter trois fois de suite une pièce équilibrée, il peut être plus intéressant de connaître le nombre de fois où PILE est apparu plutôt que la séquence détaillée décrivant l’issue de l’expérience («PPF», par exemple): U{PPP} X —{PPF} 0{PFP} X est la variable{FPP} 1 aléatoire comptant le{PFF} nombre de «PILE» lors{FPF} 2 de l’expérience “jet{FFP} d’une pièce trois fois”{FFF} 3En associant un nombre à chaque résultat possible de l’expérience, on définit ainsi une fonction. Ces fonctions réelles définies sur l’ensemble des résultats possibles (U) sont appelées variables aléatoires. (Il ne s’agit donc pas à proprement parler d’une “variable”.)La variable aléatoire X ci-dessus, comptant le nombre de «PILE» lorsqu’on jette trois fois de suite une pièce de monnaie, prend les ...
On rappelle quunexpérience aléatoireest une expérience dont: lensemble desissues,ou résultats possibles, est connu lissue dépend duhasardet nest pas prévisible.
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Exemplebien équilibrée. (Ce qui revient au même que celui simultané: Trois jets consécutifs dune pièce de trois pièces.) Lensemble des résultats possibles, ouunivers, est dans ce cas:U{PPP; PPF; PFP; = FPP; PFF; FPF; FFP; FFF}.
Après avoir réalisé une expérience, on sintéressera plus souvent à unefonction des résultatsquaux résultats possibles eux-mêmes: ainsi, dans lexpérience consistant à jeter trois fois de suite une pièce équilibrée, il peut être plus intéressant de connaître lenombre de fois où PILE est apparu plutôt que la séquence détaillée décrivant lissue de lexpérience (PPF», par exemple):
U {PPP}
{PFP}
{PFF}
{FFP}
{PPF}
{FPP}
{FPF}
{FFF}
X
0 Xest la variable 1 aléatoire comptant le nombre de PILE» lors 2 de lexpérience “jet dune pièce trois fois” 3
En associant un nombre à chaque résultat possible de lexpérience, on définit ainsi une fonction. Ces fonctions réelles définies sur lensemble des résultats possibles (U)appelées sont variables aléatoires. (Il ne sagit donc pas à proprement parler dune “variable”.)
La variable aléatoireXPILE» lorsquon jette trois fois de suite une pièceci-dessus, comptant le nombre de de monnaie, prend les différentes valeurs possibles suivantes: 0, 1, 2, ou 3. Et on peut attribuer une probabilité à chacune de ces valeurs:
Comme toute variable aléatoire recouvre lensemble detous les cas possibles, la somme de probabilités sera 1 3 3 1 8 forcément égale à 1 (=100%):= =+ + + 1=100% . 8 8 8 8 8
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Ces données sont souvent regroupées dans un tableau quon appelleloi de Xoudistribution de X:
X P(X)
0 1 8
1 3 8
De manière plus générale:
X P(X)
2 3 8
x 1 p 1
3 1 8
x 2 p2
←valeurs possibles de la variable aléatoire X ←probabilités de chacune des valeurs possibles de la v.a. X
x 3 p3
L L
x n-1 pn-1
x n pn
←valeurspossibles ←probabilitésdecesvaleurs
n ∑ avec:pi=P(X=xi)etp1+p2+K+pn=pi=1=100% i=1
(Autrement dit,pidésigne la probabilité que la variable aléatoireXprenne la valeurxi.)
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Autre exemple:onau jeu suivant: considère la variable X, comptant On dun participant les gains» jette deux dés en notant la somme des points montrés par les dés; si la somme est 7, on gagne 3 F; si la somme est 11, on gagne 4 F; dans tous les autres cas, on perd 1 franc.
Sintéresser aux gains» dun joueur revient à se demander si le jeu lui sera, à la longue, favorable ou défavorable. Dans cet exemple, sur 360 parties, le joueur devrait, en théorie, gagner 60 fois 3 francs, 20 fois 4 francs, et perdre 280 fois un franc, ce qui conduit à un gain» théorique de: 60(3 F) + 20(4 F) – 280(1 F), ce qui représente, en moyenne et par partie, 6 0⋅3+2 0⋅4−2 8 0⋅1 6 0 2 8 0 0 2 2 86 2 =⋅3+⋅4+⋅(−1)=⋅3+⋅4+⋅(−1)≅ −5, 5 centimes, 3 6 0 3 6 0 3 6 0 3 6 0 3 6 3 6 3 6 soit une perte pour le joueur.
Cette espèce demoyennepondéréepar les valeurs queXpeut prendre, les poids étant les probabilités que ces valeurs soient prises, est une notion très importante, appeléeespérance mathématique.
Fonction de répartition
Lafonction de répartitionF dune variableXest définie sur par:
F(x)=P(X≤x)
Autrement dit,F(x) est la probabilité que la variable aléatoireXprenne une valeur inférieure ou égale àx.
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Dans lexemple du jet successif de trois pièces de monnaie, dont létude aboutissait au tableau X 0 1 2 3 , la fonction de répartition est donnée par: 1 3 3 1 P(X)8 8 8 8 0 ,si x<0 0,125 ,si0≤x<1 F(x)=0,5 ,si1≤x<2 0,875 ,si2≤x<3 1 ,si x≥3
Cest, comme souvent, une fonctionen escalierdont le graphique est:
2. Espérance mathématique
Définition
On rappelle le tableau résumant le jeu de lancer de 2 dés accompagné de gains ou de pertes dargent et X+3+4−1 donné plus haut en exemple: 6 2 28 . P(X) 36 36 36
On avait calculé à ce propos une moyenne théorique, sur 360 parties: 60(3F) + 20(4F) – 280(1F), ce qui 6 0⋅3+2 0⋅4−2 8 0⋅2 80 2 0 2 8 0 6 2 1 6 donne sur une partie:=⋅3+⋅4+⋅(−1)=⋅3+⋅4+⋅(−1)≅ −5, 5 . 3 6 0 3 6 0 3 6 0 3 6 0 3 6 3 6 3 6 On aboutissait donc à une perte théorique pour le joueur. On observe quil sagit de la somme de tous les produits verticaux du tableau.
Cette espèce demoyennepondéréepar les valeurs queXpeut prendre, les poids étant les probabilités que ces valeurs soient prises, est une notion très importante, appeléeespérance mathématique.
Plus généralement, si la loi de la variable aléatoireXest:
X P(X)
xi p i
x2 p 2
x 3 p3
L L
x n−1 pn−1
x n , avecpi=P(X=xi) pn
Lespérance mathématique, ou aussimoyenne, dune variableXest notéeE(X) et définie surpar: n ∑ E(X)=xi⋅pi=x1p1+x2p2+x3p3+K+xn−1pn−1+xnpn i=1
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Il sagit bien dune “moyenne pondérée” quon peut rapprocher dun calcul classique de moyenne de notes à lécole. Prenons par exemple, deux épreuves “comptant double” lune de 4, et lautre de 3,5 et une 2⋅4+2⋅3, 5+1⋅2 15 2 récitation de 5; la moyenne donnée par peut aussi sécrire:⋅4+⋅3, 5+⋅5 . 5 5 5 5 Il sagit bien du même type de calcul que lespérance et lon pourrait aussi utiliser un tableau de répartition note: 4 3,5 5 2 2 1 pour lillustrer: . Là aussi, la somme des coefficients vaut 1+ + =1 . 2 2 1( ) pondération: 5 5 5 5 5 5
En dautres termes, lespérance mathématique dune estvariable aléatoire la moyenne des valeurs prises par la variable aléatoire , moyenne pondérée par les probabilités respectives de ces valeurs.
Exemple: La variable aléatoireXde PILE» lorsquon jette simultanément trois, comptant le nombre 4 x0 1 2 3 i 1 3 3 1∑ pièces de monnaie a comme loi: . Lespérance deXest donc:E(X)=x⋅p, soit i i p i8 8 8 8 i=1 1 3 3 1 1 2 dans ce cas:E(X)=0⋅+1⋅+2⋅+3⋅= =. Ce nombre de côtés PILE» nest évidemment1, 5 8 8 8 8 8 réalisé lors daucun des jets les seules possibilités étant les valeurs entières de 0 à 3 mais correspond à la valeur espérée de la moyenne du nombre de PILE», valeur dautant plus proche de la réalité que le nombre de jets est élevé.
Variable aléatoire binomiale
Un exemple important de variable aléatoire est issu de létude de la loi binomiale:népreuves indépendantes, chacune ayantppour probabilité de succès et 1−p pour probabilité déchec.
Laqui compte variable aléatoire X le nombre de succès sur lensemble des n épreuvesest ditevariable aléatoire binomiale de paramètre (n;p).
La variable aléatoireXqui compte le nombre de succès (chacun ayant probabilitépde survenir) sur un ensemble denépreuves indépendantes est dite variable aléatoire binomialeparamètres ( de n;p).
Laloi de probabilitédune variable aléatoire binomiale de paramètre (n;p) est donnée par:
n n−i i C P({X=i})=p(1−p), pouri= 0, 1, 2, ,n. i
Reprenons unexemple historiquedatant des débuts de létude des probabilités. En 1654, le chevalier de Méré, philosophe et homme de lettres, pose le problème suivant au mathématicien Pascal: dans un jeu de dés, qu'est-ce qui est plus probable, obtenir au moins un "6" en lançant quatre fois un dé (événementA), ou obtenir au moins un "double six" en lançant deux dés vingt-quatre fois (événementB) ?
La variable aléatoire comptant le nombre de fois où lon obtient “6” en lançant un dé 4 fois de suite est une 1 variable aléatoire binomiale de paramètres(4 ;)probabilité est donnée par:. Sa loi de 6
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i4−i 1 1 4 C P X= =({Ai})1−. Par exemple, obtenir deux fois i 662 4−2 2 2 1 1 1 5 4 4 C2C2 P({XA=2})=1−=≅11, 57% . 6666
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un “6” a comme probabilité:
De manière analogue, la variable aléatoire comptant le nombre de fois où lon obtient “double 6” en lançant 1 deux dés 24 fois de suite est une variable aléatoire binomiale de paramètres(24 ;). Sa loi de probabilité est 36 i24−i 1 1 24 donnée par:P({XB=i})=1− exemple, obtenir . Par 6” a commedeux fois un “double Ci 36362 22 1 35 24 C probabilité:P({XB=2})=≅11, 46% . 2 3636Quant à la réponse au problème du chevalier de Méré, elle est apportée par les deux calculs: 0 4 1 5 4 P({XA≥1})=1−P({XA=0})=1− ≅51, 77% C 0 660 24 1 35 24 P({XB≥1})=1−P({XB=0})=1− ≅49,14% C0 3636Ilau moins un "6" en lançant quatre fois un dé que dobtenir au moins unplus probable dobtenir est donc "double six" en lançant deux dés vingt-quatre fois.
−4 Voici la distribution complète de la variable aléatoireXA):(probabilités à 10
X P(X)
0 0.4823
1 0.3858
2 0.1157
3 0.0154
4 0.0008
−4 Et la distribution, partielle, de la variable aléatoireXB(probabilités à 10 ):
X P(X)
0 1 2 3 4 0.5086 0.3488 0.1146 0.0240 0.0036
1 2 4e-13
2 0 7e-28
∑= 100%
2 4 4e-38∑= 100%
(La somme des probabilités des cinq premières valeurs deXBpresque 1; onest denviron 99,954826%, soit peut sans grand risque parier de ne pas obtenir 24 fois consécutives “double six” en jetant un dé 24 fois, quoique la probabilité de cet événement ne soit pas nulle comme on peut le contrôler dans le tableau ci-37 dessus: environ une chance sur 2, 2⋅10 )
Espérance de la variable aléatoire binomiale
Contrôlons tout dabord que la somme de toutes les probabilités vaut 1, en application directe du théorème du binôme de Newton:
n n−i i Ci Pour une variable aléatoire binomiale,P({X=i})=p(1−p), on a: n ∑ P({X=i})=1 . i=0
Démonstrationla formule du binôme de Newton: pour tout: On rappelle n∈Ule développement de , n n n n nn−k k (a+b)est donné par(a+b)=a b. De là résulte queP({X=i})=en effet:1 ; ∑Ck∑ k=0i=0
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n n n n−i i ∑Ci1 2 3 p(1−p)=[p+(1−p)] i=0 formule du binôme
n =[p+1−p]
n =[1]
=1(=100%).
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Autre propriété de calcul prévisible: sil y a une probabilité depréussite à chaque tentative, le nombre de moyen de réussites surntentatives doit être denp. Et cest bien le cas:
Lespérance dune variable aléatoire binomiale (n;p) est égale au produitnp: E(Xbin)=n⋅p
Démonstration: Elle nutilise “que” de lalgèbre distributivité, jeu sur les indices, binôme accrochez-vous, cest très ludique: n ∑ , i» étant le nombre de succès, et p»,P({X=i}) E[X]=i⋅pi i i=0 n n n n−i n−in!i n−i n n i i =i⋅p(1−p)=i⋅p(1−p)=i⋅p(1−p) ∑Ci∑Ci∑ i!(n−i)! i=0i=1i=1 n n n⋅(n−1)!i−1n−i(n−1)!i−1n−i =i⋅p⋅p(1−p)=np⋅i⋅p(1−p) ∑ ∑ i!(n−i)!i!(n−i)! i=1i=1 n n−1 (n−1)!i−1n−i(n−1)!k n−k−1 ∑ ∑ =np⋅p(1−p)=np⋅p(1−p) (i−1)!(n−i)!k!(n−k−1)! i=1k=0 { en posant i−1=k n−1 n−1n−1 n−1−k k n−1 =np⋅p(1−p)=np⋅[p+(1−p)]=np⋅1=np ∑C142 43 k k=0 encore l e binômeK
3. Variance et écart type
Lespérance nous donne une moyenne pondérée des valeurs possibles deX, elle ne nous dit rien des variations deXautour de lespérance. On peut sen rendre compte grâce aux exemples suivants, qui, bien que très dissemblables, ont tous la même espérance (E[X] = E[Y] = E[Z] = 3):
X P(X)
1 0 . 2 5
loi de X
2 0 . 2 5
1 0,75 0 5 0,25 0 1 2 3 4 5 6
4 0 . 2 5
P(X)
5 0 . 2 5
Y P(Y)
1 0 . 5
loi de Y
1 0 75 0,5 0,25 0 1 2 3 4 5 6
5 0 . 5
P(Y)
Z P(Z)
1 0 . 0 5
2 0 . 0 5
3 0 . 7 5
loi de Z
1 0,75 0 5 0,25 0 1 2 3 4 5 6
4 0 . 1 5
P(Z)
Un deuxième nombre permet de caractériser plus “finement” une variable aléatoire: celui qui mesure lécart moyen entreXgrande dispersion des valeurs prises par la variable et son espérance, soit, la plus ou moins autour de la moyenne. Par exemple, pourY, lécart est de deux unités:
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0
1
?
E[X]=3
?
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Mesurer un écart à la moyenne» revient à sintéresser à la grandeur:X−E(X)pour, soit, Y: 1−3 et 5−3 , cest-à-dire 2 (= | –2 | = | 2 | ). Faire la moyenne de ces écarts consiste à calculer lespérance des écarts à la moyenne:E(X−µ), oùµ(lire mu», comme moyenne»;µla minuscule grecque étant correspondant à la lettre m) est lespérance deX: µ=E(X).
Pour des raisons techniques (la manipulation des valeurs absolues étant difficile) on lui préfère lespérancedes carrés des écartsentre les valeurs deXetµ:
Définition:
2 On appellevariancede la variable aléatoireX que lon noteV(X)ou aussiσ(sigma carré) le nombre: 2 V(X)=E(X−µ) [ ] n 2 2 2 2 ∑ =(xi−µ)⋅pi=(x1−µ)⋅p1+(x2−µ)⋅p2+K+(xn−µ)⋅pn i=1
Pour revenir à un écart correspondant de manière plus proche à la réalité, et défaire partiellement linfluence des carrés, on utilise lécart-type»:
On appelleécart-typede la variable aléatoireX, la racine carrée de la variance: σ=V(X)
Exemple: Voici le calcul de lavariance, pour la variable aléatoireYplus haut, à laide de cette proposée 2 2 Y1 5définition:V(Y)=1−3⋅0,5+1−3⋅0, 5=4⋅0,5+4⋅0, 5=4Il . {{{{{ { P(Y)0, 5 0,5xµµP(x1)2P(x2) x 1 résulte donc que lécart-type est ici de 2:σ=V(Y)=4=2.
Néanmoins, on utilise plutôt une autre formule pour le calcul de la variance, plus pratique demploi, donnée par le théorème:
2 2 V(X)=E[X]−(E[X])
,ou:
V(X)=
2 2 E[X]−µ
Exemple: Voici le calcul de lavariance, pour la même variable aléatoireY, à laide de ce théorème: 2 2 2 Y1 5Y1 5 2 st: . On obtient ainsi, et donc, la loi deY e2 P(Y)0, 5 0,5P(Y)0,5 0, 5