On se donne un espace des instantsτent´e,etdedimensoi1nqu,stiesenuecapenffiairo, surReA.nunitsossaynoe´nnodtnatdntme´eeln´euciτ, alors : t0t=τ u Siτune fois pour toute, alors on confond t etest choisi τ
1.1.2Espace:”Repe´ragedansl’espace” On utilirsbopeaevrrdecepa0etd0srueapecrrvseeuatob se unes
D´efinition1.1.1erp`ese:RelcueeidiecapenffianE, muni d’un produit scalaire (pour mesurer lesdistances),oriente´etdedimension3.AlorsuncorpssolideΩn’est qu’un partie deE.
1
1.1 Rappels
2
–Lemouvementd’unpointparrapporta`Eeodts:tionaplrnne´ilaca’pp τ−→E t→7−M(t) –Sionchoisil’origineOdurepe`reEcnofnoittestd´efiniparunea,olsrelomvumene vectorielle τE−→ t→7−OM(t) – Si on choisi une baseB(e1, e2, e3reais.nsioalscntesvemeemouorslnotcraf3nfipidte´la,) τ−E→ t7→−x1(t) avec i = 1, 2, 3 ou`lesxisont les composantes deOMsnadre`pereleR(O,B), alors n OM=Xxi∗ei i=1 – Si la baseBest choisie une fois pour toute, alorsEetRsont confondus. Les expression delavitesseVetdel’acce´l´erationΓsontalors: V(M, t) =MOdtd=3Xdxdit(t)ei=x˙iei i=1 Γ(M, t) =d2tOd2M=3Xd2xtdi2(t)ei¨ =xiei i=1
1.2 Milieux continus
3
1.2 Milieux continus 1.2.1 Introduction –Objectif:D´ecrirelemouvementdescorpsphysiques(fluideousolide)parrapportau rep`ereR. –Choix:Observationa`unee´chelle”macroscopique”(onnes’int´eressepas`alastructure atomique). – A l’instant t, le corps occupe le domaine Ω(t). 1.2.2Lesrepre´sentationsdumouvement 1.2.2.1 Description Lagrangienne –Lemouvementestd´efiniparuneseuleapplication: [0, T]×Ω0E−→ (t, M0)−→7M= Φ(t, M0) – A un instant t, l’ensemble des points M(t) est Ω(t). On notera Ω0= Ω(t= 0) – Pour unM0´xfinetlcuiqoeeiruee´dlaeltaapatrrecjiiparl´eemseenntttea,iMt(itn)irte M0retodniannO.t:en´eiffmmre
Fig.1.2 – Description Lagrangienne du mouvement
OM= Φ(t, OM0) M= Φ(t, M0) M= Φ(t, M0) Onauraalors,lafonctioncoordonne´equid´ependde4variable:xi= Φi(t, x10, x02, x30) Onentendpar”MilieuContinu”,unmilieuquidoitavoircertainconditionsdere´gularit´sur e Φ(t, M0) , par exemple : 1.Auninstanttfixe´Φt(M0) est une bijection (donc Φ−1ssannnaiuecoireq`tda’cseet,)xesit unpointM,onpeutconnaıˆtreM0, le milieu conserve alors ses orientations. 2.Φest2foisd´erivableparrapportautemps 3.Φestcontinˆntde´rivableparrapportauxi( car 2 points proche ne peuvent que ume rester proche)
1.2 Milieux continus
Alors :
4
V(t, M0) =∂Φ(,Mtt∂0 Γ(t, M0)∂2Φ∂(t,t2M0 = Demani`ereg´en´eraleT:uoetrgnaedruerrpe´estne´aprf(t, M0)est´egale`valauelaedr lagrandeura`l’instanttetaupointinitialementenM0, par exempleρ(t, M0) . De´finition1.2.1: On appelleΩ0.eedfero´mtaoinnno,configur ´ Remarque :LnoiargacsedtpirLa1.uieqerlicutiarnptaoigfirucenoeinul´egrivinnepngie de´penddeΩ0= Ω(t= 0)`’le´uteddsseocrpssolides.C.ettenredre`isteeenbiapadeet´ a 2. Pour les solides rigides on a alors :OM=A(t) +Q(t)OM0o’´pL.ionderatatioerotstne doncrepr´esente´epar:M N=Q(t)M0N0. 3.L´quencesintuitivesdesconditionsdere´gularite´sontalors: es conse
Fig.3–D´1.amniuΩdetodeitnofiein∂Ω – SiM0∈Ω0, alors on aM(t)∈∂Ω(t). – SiM06∈Ω0, alors on aM(t)6∈∂Ω(t)elangedemati`ereaCirnly’pasaed´m.ruopsel solides. – SiM0etN0sont voisins, alors pour tout instant t les pointsMtetNtsont voisins. – Un voisinage deM0est alors aussi un voisinage deM 1.2.2.2 Description Eulerienne