Pont du Golden Gate . . . . . . Ge´ometrie . . . . . . . . . . . . ´
Tronc commun du DEA
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iii
Table
iv
des
figures
Tronc
commun
du
DEA
Liste
Tronc
des
commun
du
tableaux
DEA
v
Liste
vi
des
tableaux
Tronc
commun
du
DEA
Chapitre 1
Theorie des poutres ´
Figure 1.1 – Pont du Golden Gate
Cecoursestunresum´edonn´eaux´etudiantsduDEAS 3 M ´ lorsdelaremisea`niveauentronccommun.Sabaseest celleducoursdeJeanLemaitre,quiaenseign´eetpendant desann´ees`aceDEA,maisn’ajamaispublie´cecours.J’y ai bi ˆ po t´ e touche personnelle. L’accent est en sur ap r e un missurlaclarte´desexplicationsetdeshypothe`ses(enfin jel’espe`re!).
1.1Geom´etrie ´ L’hypothe`sege´ne´raleestquelesolideestassimilablea`salignemoyenne.Celle-ci representel’ensembledescentresdegravite´ G ( s ) des sections droites (orthogonales ´ a`lalignemoyenneetengrise´surlafigure 1.2 )quidoivent,defait,variercontinuˆ-ment. L’abscisse curviligne de la ligne moyenne est s , le vecteur tangent est ~τ ( s ), et 0 ≤ s ≤ L ou L est la longueur de la poutre. Lath´eoriemarched’autantmieuxqu’unedimensioncaract´eristiquedelasection
Figure1.2–G´eom´etrie droite par exemple √ S ( S est la surface d’une section droite) est petite devant la longueur L delapoutre,maisaussisacourbureetsatorsion.Onadmetetonv´erifie enge´ne´ralqu’unrapport10entre √ S etlesautresgrandeurscit´eesdonnedetre`s bonsre´sultats.Lath´eories’accommodecependantdepoutresformantdesbifurca-tionsoudesanglesvifs,enrepr´esentantunecontinuit´edeseffortsint´erieursences points. Leseffortssontsuppos´ess’appliquersurlalignemoyenne:onne´gligel’effetdebras de levier qui pourrait provenir de l’application en un point de la section droite. Dans lapratiqueils’agiteng´ene´raldere´sultantesdeliaisonscomplexes,commeunearti-culationouuneliaisonsoude´e,quifaitintervenirunedistributioncomplexed’efforts repr´esente´eparsar´esultante. Lage´ome´trie`al’´etatfinalserade´criteparseuleconnaissancedelalignemoyenne`a l’´etatfinal;lessectionsdroitessontsuppos´eessed´eplacerenmouvementdecorps solide.
1.2Effortsext´erieurs Nous distinguerons l’ensemble des cas possibles soit : ~ R i lesforcesconcentr´eesauxpoints M i ~ S j lesmomentsconcentr´esauxpoints M j r~ lesforcesr´eparties(line´¨ıques) ~s lesmomentsr´epartis(line´ı¨ques)
Tronc commun du DEA
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1.Th´eoriedespoutres 1.3Effortsinte´rieurs Demeˆme,leseffortsinte´rieursapparaissent,soitdepuislecalculdespuissances virtuelles,soitdepuisuneconsid´erationd’actiond’unepartiedelalignemoyennesur ~ ~ l’autre,commee´tantcompose´ed’uneforce T et d’un moment M . Nous distinguons lespartiescoline´aires`alatangente τ~ etlespartiescompl´ementaires,orthogonales ~ ~ `a ~τ .Lesparagraphesuivantspermettentdev´erifierque T et M repre´sentantles ~ ( T.τ~ ) τ~ l’effort normal (ou tension) ~ ~ T − ( T.τ~ ) ~τ l’effort tranchant ~ ( M.τ~ ) ~τ le moment de torsion ~ ~ T − ( T.τ~ ) τ~ lemomentfle´chissant ~ actions de la partie s + de la poutre sur la partie s − . Par exemple, lorsque T.~τ> 0, la poutre est en tension. ´ 1.4Equationsd’´equilibre Elles sont obtenues depuis le principe des puissances virtuelles (voir le cours) ou biendepuisdesconsid´erationsd’e´quilibred’unetranchedepoutredelongueur ds . ~ dT~ + ~ = dsr 0 (1.1) ~ dM~ + ds~τ ∧ T + ~s = ~ 0 (1.2) ~ ~ ~ [ T ] i + R i = 0 (1.3) ~ ] j ~ ~ [ M + S j = 0 (1.4) Lese´quations( 1.1 ) et ( 1.2 )sontrelativesauxchargementsr´epartis.Les´equations ( 1.3 ) et ( 1.4 )sontrelativesauxsautsprovoqu´esparleschargesconcentr´ees.Comme ~ ~ ~ dansuneinte´grale,letermedesaut[ T ] i este´gala`l’expression T ( s + ) − T ( s − ) dans laquelle s i est l’abscisse curviligne du point M i . 1.5Champsdede´placementetdede´formation Lapoutre´etantassimil´ee`rbe,lessectionsdroitessontsuppose´esne a une cou pas changer de forme et donc leur mouvement est un mouvement de corps solide. Il estdoncrepre´sente´parunchampdetorseurs,d´ependantsdel’abscissecurviligne s . Le torseur des vitesses est { C } : { C } = { ~ω,v~ } (1.5) 4 Tronc commun du DEA
1.6. Relations de comportement Dansl’hypoth`esedepetitsde´placementsquiestlanotre,ond´efinitletorseur desde´placements { U } depuislepr´ece´dent: { U } = { ~ϕ,~u } (1.6) Lad´eformationsede´fininaturellementcommelade´ri´edutorseurded´eplace-ve mentpart`alavariabled’espaceunique:l’abscissecurviligne s . C’est donc rappor un torseur elle aussi. { D } = d { dUs } (1.7) { D } = { ~γ,~ } (1.8) Lade´rive´ed’untorseurdemandequelquepr´ecaution:ilfautserameneraumeme ˆ pointavantdepouvoirfaireuneadditionousoustraction.Cetteconsid´erationpermet d’obtenir la relation entre les composantes de { U } et celles de { D } , qui sont de fait unpeupluscomplique´equenelelaissesugge´rerlaformedel’´equation( 1.7 ) : ce sont les formules de Bresse : ϕ~ ( s ) − ϕ~ (0) = Z 0 s ~γ ( ξ ) dξ (1.9) ~u ( s ) − u (0) = Z 0 s ( ε~ ( ξ ) + ~γ ( ξ ) ∧ P −− M → ) dξ (1.10) ~ Le point P estdonclepointcourantdel’int´egrale,sonabscissecurviligneest ξ qui varie entre 0 et s . 1.6 Relations de comportement Nousfaisonsicideuxhypothe`ses: –unehypoth`esedede´couplage:leseffortsinterieursneprovoquentqueles ´ de´formationsquileursontassoci´ees. –cesde´formationssontline´airementproportionnellesacesefforts. ` Lathe´oriedespoutrespeutalorssecontenterdeconstantespourrelierces ´el´ements.N´eanmoins,diverscalculsanalytiquesen3 D am`enentaquantifierces ` constantesparrapportauxmodulesd’e´lasticit´edumate´riau( E , module d’Young et G = 2 µ ,moduledecisaillement)etparrapporta`diverstermesg´eom´etriquesque nous rappelons ici. Dans la relation suivante entre tension et allongement, S repre´sentelasurfacedela sectiondroite`al’bscisse s consid´ ´ a eree. ~ τ ~ ~ε.~τ = TE.S (1.11) Larelationsuivanteentredistorsionetcisaillementpeuteˆtreutilise´eavecdeux niveauxdemod´elisation.Dansleplussimple,lesvecteurs ~µ i sont tels qu’ils forment Tronc commun du DEA 5