Rappelons quelques faits et dénitions on ernant les L∞ algèbres avant de donner une introdu tion la théorie des déformations qu'on va développer dans le Chapitre

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Résumé L∞-déformations Rappelons quelques faits et dénitions on ernant les L∞-algèbres avant de donner une introdu tion à la théorie des déformations qu'on va développer dans le Chapitre 1. L∞-algèbres Une L∞-algèbre sur un anneau k de ara téristique 0 est par dénition un module Z-gradué L muni d'une suite µ? = (µn)n≥0 de morphismes µn : L?n ?? L gradués antisymétriques de degré 2?n telle que, pour haque n ≥ 0 et a1, . . . , an ? L, on a la ondition suivante: ∑ k+l=n+1 ∑ ??Sh(k,n) (?1)k(l?1)?(?)µl(µk(a?(1), . . . , a?(k)), a?(k+1), . . . , a?(n)) = 0 (?n) I i, Sh(k, n) dénote l'ensemble des (k, n)-shues, 'est-à-dire l'ensemble des toutes les permutations ? ? ?n telles que ?(1) < . . . < ?(k) et ?(k + 1) < . . . ?(n). Le terme ?(?) = ?(?, a1, . .

• ll ll


• proje tion


• l?


• l∞-algèbres


• atégorie des l∞-algèbres


• déformation


• morphisme


• morphismes gradués

Sujets

• Déformation
• Morphisme

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Nombre de lectures: 18
• Langue: Français

Extrait

L∞
L∞
L L k 0∞ ∞
⊗nZ L = ( ) :L −→L∗ n n≥0 n
2−n n≥ 0 a ,...,a ∈L1 n
X X
k(l−1)(−1) χ(σ) ( (a ,...,a ),a ,...,a ) = 0 (∗ )l k nσ(1) σ(k) σ(k+1) σ(n)
k+l=n+1σ∈Sh(k,n)
Sh(k,n) (k,n)
σ∈ Σ σ(1) < ... < σ(k) σ(k +1) < ...σ(n)n
χ(σ) =χ(σ,a ,...,a )1 n
a ∧...∧a =χ(σ)a ∧...∧a .σ(1) σ(n) 1 n
L (L, ) = 0∞ ∗ 0
(∗ ) (L, ) (∗ )1 1 2
(∗ )1 2 3
(L, )2
L3 ∞
L∞
L∞
L∞
(L, )∗
S(L[1]) L[1] L M := L[1] n

la


suiv
R?sum?
es
-alg?bre
osons
sur
ortan
un
une
anneau
bar
de
?

app
est
-alg?bres
par
un
que
th?orie
telles
que
d?nition
an
un
donner
mo
t
dule
qu'on
utations
.
erm
Gr?ce
p
DGL
les
t
toutes
th?orie
des
on
ble
qui
l'ensem
ob

?quiv
ues,
asso
-sh
alen
-gradu?
et
m
une
uni
Le
d'une
le
Souv
sym?-
en
d?formations
t
de
on
le
ne
v

DGL
que
fait
les
t,
suite
et
des
-alg?bres
-alg?bres
r?le
ble
dans
l'ensem
d?formations:
d?note
jet
de
eut
morphismes
DGL
gradu?s
erne
telles
d?formations.
que
on
an
des
tisym?triques
te
de
DGL
degr?
resp
.
t
Dans


Construction

La
la


de
Ici,
in
telle
une
que,
don
p
dule
signie
l'alg?bre
juste
tro
que
th?orie
our
le

a
haque
.
et
dans
,
1.
on
morphismes
est
a
un
eler
DG
alg?bres).
mo
au
dule,
g?n?ral
la
an

les
a
alg?bres
la
les

a
suiv
jouen
signie
un
que
imp
an
t
par
la
est
des
une
?
di?ren
ob
tielle
donn?,
vis-?-vis
p
du
asso
pro
une
duit
alg?bre
te:
gouv
d?ni
sa
.
des
La
Deux

jets
est
t
qui
th?orie
signe
d?formations
le
alen
signie
d?s
que
leurs
est
alg?bres
-d?formations

Rapp
ectiv
elons
son
quelques
?quiv
faits
tes
satisfait
v
la
-alg?bres.

bar
de
morphismes


p
asso
our
?
les
t
alg?bres
-alg?bre
de
une
Lie
terme
et
.
1
DG
ho-
libre
motopie
t
(donn?e
mo
par
sous-jacen
d?nitions
est

gradu?e
)
trique
pr?s.

Donc
la
les
des
t
sur
les
shifting
-alg?bres
v
g?n?ralisen
d?v
t
elopp
les
P
alg?bres
er
de
et
Lie
Chapitre
di?ren
-alg?bres
tielles
Les
gradu?es
Une
(qu'on
gradu?es
?M n ⊗nQ :↓ ↑ :M −→Mnn
M1 (Q )n≥0n
MQ S(M) (∗ )n n≥1
M 2(Q ) = 0
L L∞ ∞
′ ⊗n ′f :L−→L L f :L −→L∞ n
n(n≥ 1) (1−n) (↓ f ↑ )n n≥1
′S(L[1])−→S(L[1])
L∞
M(M,d ) (L,d,[,])
f : M−→ L ∗
ML M =d f :M−→L L∞ 1 ∗ ∞
f =f1
L H (L,d,[,])∞
(L,d)
H∗
η (L,d)
2 ⊗nη = 0 ηdη =η dηd =d :H −→n
H (2−n) L H∞
: = 01
: = (1−dη)[,]2
...
X−1 n−1 : = ( ) e(φ)φ((1−[d,η])[,],η[,],...,η[,])◦αn n2
φ∈Otn
φ n
φ((1−[d,η])[,],η[,],...,η[,]) n
(1− [d,η])[,] φ η[,]
φ α e(φ)n
φ
f :H−→L
t
qu'
nous
est
L
scind?.
et
Ce
te
r?sultat

a
la
?t?
morphismes
obten
asso-
u
homotopie
par
end
des
il
m?tho
DGL
des
es

mo
es.
On
En
-lin?
vue
par
des
acine
applications
autr
?
de
la
On
th?orie

des
?quiv
d?formations,

on

v
sur
oudrait
de
a
DG
v
libres.
oir
trer
une
?
description
d?signe
explicite
est
d'une
bilin?
telle
-alg?bres

Une
un
pr?s
morphisme
1.1).
sur
ation
de
(v
.
un
Dans
om?trie

une
th?se
de
on
une
d?mon
d'homotopie,
tre
est
le
ainsi
r?sultat
et
suiv
est
an
en
t:
p
Th?or?me
les
0.0.1.
es
Soit
feuil
-alg?bres
et
un
si
scindage
un
du
d?nit

si
omplexe
eut
est
DGL
une
alen
morphisme
dules,
un
forme
d?nit
e
satisfaisant
e
les
la

e
onditions
don-
suite
de
de
imp
morphismes
la
gradu?s
l'arbr
,
la
sym?triques
alg?bres
de
?
degr?
r
telle
oir
que
symb
C'est-?-dire
d?signe
et
fonctorielle.
mani?re
t
qui
2
la

que
le
t
.
du
L
ondance
es
La
morphismes

gr
existe
t
alors
antisym?triques

don
une
d?nissen
bar
t
donne
des
une
la
si
suite
alg?bre
morphismes
une
gradu?s
ondance
sym?triques
e
de
Ici
de
somme
gr
orte
?
tous
de
arbr
degr?
binair
.
tre
Une
les
telle
les
qui
-alg?bres
suivent
les
d?nissent

une
dule,

DG
e
est
de
On
alg?bre
les
DGL
de
-alg?br
que,
e
mon
sur
p
d'une
alg?bre.
:
une
suite
ts

?quiv
la
homotopiquemen
sur
mo
-alg?bre
la
d?nit
DG
de
air
de
qui

donn?
la
en
de

l'existence
forme
t
air
obtien
les
on
n?e
particulier,
est

-alg?bres
Comme
de
.
ortan
mani?re

unique
?
une
r

de
que
e
tel
et
alg?bres
forme
-
?
d?riv
DGL
ation

de
toute
sur
e
et

la
de
suite
.
de
e

ole
est

morphisme
l'antisym?trisation
un
DG
existe
telle
il
est
et
signe
?quiv
d?p
alen
de
te
g?
?
de
la
.
que
obtien
telle
aussi
seule
description
sur
morphisme
-alg?bre


devien
.
adu?s
:
et⊗nf :H −→Ln
(1−n) L H−→L∞
f :=1
f :=−η[,]2
...
X−1 n−1f :=−( ) e(φ)φ(η[,],...,η[,])◦α .n n
2
φ∈Ot(n)
L∞
A∞
L∞
c
A C
f e
d
B D
L f∞
e f e
L g : B−→ C L∞ ∞
A C
~~g ~~~~~
B D
A := C := H B := L L H
g : L−→ H
g◦f = Id H LH
F := Kern(1−[d,η]) H = Kern([d,η])
(L,d)
∼(L,d,[,]) (H, )⊕(L,d,0)= ∗
L∞
L∞
L∞

surje
dans

le
et
-alg?br
scind?,
ommutatif
(c)
les
soit
analogue
L
l'existence
soit
tre
0.0.2.
de
est
d?nissent
un
y
Th?or?me
?t?
M1
dans
-quasi-isomorphisme.
on
A
DGL-alg?bres
lors
osition
il
pr?cis:
existe
un
un
gr
morphisme
qui
3
Prop
R?sum?
e
l'axiome
isomorphisme
satisfait
K.Lef?vre
-alg?bres
e
:
mo
de
gorie


de
sur
-alg?br
-quasi-isomorphisme
es
d'?quiv
tel
qu'on
que
on
tout
r?sultat
le
0.0.4.
diagr
amme
amme/
//
ompl?ment/
0.0.3.
la
une
our
.
que
alors/
th?se/
℄
est
?>
-alg?bres>
our
th?orie
Le


our

p
our
utile
Une
t
que
extr?memen
v
est


Quillen
ommute.
tre
En
une
p
sur
osan
DGL
t,
elle
dans
0.0.3,

mon
diagramme
le
qui
plus
fait
Th?or?me
Un
Soit
osition


diagr
de
antisym?triques
Th?or?me/
et
de
Un
es
?
morphisme
le

,
de
o?/
(b)
suivent
et
Soit
scind?,
osition
son
-alg?bres:
t
-?

dans
et
p
est
prouv
le

Il
Th?or?me
a
0.0.2
un
on
on
obtien

t
et
l'existence
[28
d'un
par
morphisme
prouv

a
inje

est
les
morphismes
p
morp