Chapitre 2ESPACES LOCALEMENTCONVEXESVersiondu27juin2004Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 8577772.1 Semi-normes2.1 Semi-normeseDEFINITION 1 On dit qu une fonction p : F R est une fonctionnelle et qu?elle estsous-linØaire si elle possŁde les deux propriØtØs suivantes :(a) positivement homogŁnep(α•ϕ)=α•p(ϕ) pour tout α∈R et ϕ∈F ,+(b) sous-additivep(ϕ+ψ)6p(ϕ)+p(ψ) pour tout ϕ,ψ∈F .Nous dØsignerons parSL(F) l ensemble de toutes les fonctionnelles sous-linØaires sur F .On dit que p est une forme sous-linØaire si c?est une fonctionnelles sous-linØaires surF ?valeurs dansR et que c est une semi-norme si elle prend ses valeurs dansR et si elle est+(c) absolument homogŁnep(α•ϕ)=|α|•p(ϕ) pour tout α∈K et ϕ∈F ,On dit que c?est unnorme si en plus elle est(d) sØparantep(ϕ)=0 ϕ=0 pour tout ϕ∈F .Nous dirons qu un espace vectoriel F muni d une semi-norme p est un espace semi-normØ .S il faut prØciser nous Øcrirons (F,p) . Rappelons que l?on ditespace normØ s il est muni d unenorme.EXEMPLE 1 Pour toute forme linØaire ? : F K , la fonction ϕ |?(ϕ)| est unesemi-norme sur F .ParexemplesiX est un ensemble et x ∈ X , alors la forme linØaire d?Øvaluation en xXε :K K : ϕ ϕ(x)xXdØ?nit une semi-norme surKXK R : ϕ |ϕ(x)| .+Si X est un espace topologique sØparØ et ? une intØgrale de Radon sur X,alorsfl flZfl fl1 fl flL (?) R : ϕ ϕd + fl fl86 ESPACES LOCALEMENT CONVEXES Claude Portenier−→ −→−→ −→−→ −→−→ −→⇐⇒−→7777777Semi-normes 2.11est unesemi-normesurL ...
e DEFINITION 1On dit quune fonctionp:F−→Rest unefonctionnelleet quelle est sous-linéairesi elle possède les deux propriétés suivantes : (a)positivement homogène p(α·ϕ) =α·p(ϕ)pour toutα∈R+etϕ∈F, (b)sous-additive p(ϕ+ψ)6p(ϕ) +p(ψ)pour toutϕ,ψ∈F. Nous désignerons parSL(F)lensemble de toutes les fonctionnelles sous-linéaires surF. On dit quepest uneforme sous-linéairesi cest une fonctionnelles sous-linéaires surFà valeurs dansRet que cest unesemi -normesi elle prend ses valeurs dansR+et si elle est (c)absolument homogène p(α·ϕ) =|α| ·p(ϕ)pour toutα∈Ketϕ∈F, On dit que cest unnormesi en plus elle est (d)séparante p(ϕ) = 0⇐⇒ϕ= 0pour toutϕ∈F.
Nous dirons quun espace vectorielFmuni dune semi-normepest unespace semi-normé. Sil faut préciser nous écrirons(F, p). Rappelons que lon ditespace normésil est muni dune norme.
EXEMPLE 1Pour toute forme linéaireµ:F−→K, la fonctionϕ7−→|µ(ϕ)|est une semi-norme surF. Par exemple siXest un ensemble etx∈X, alors la forme linéaire d évaluationenx εx:KX−→K:ϕ7−→ϕ(x) déÞnit une semi-norme surKX KX−→R+:ϕ7−→|ϕ(x)|. SiXest un espace topologique séparé etµune intégrale de Radon surX, alors L1(µ)−→R+:ϕ7−→¯Zϕdµ¯
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est une semi-norme surL1(µ),nest pas une norme puisquil existe en général des fonctionsqui µ-intégrables telles queZϕdµ= 0confondre cette semi-norme avec la norme. Il ne faut pas k·k1:=Z|·|dµ.
EXEMPLE 2SoitPun ensembleÞni de formes sous-linéaires ou de semi-normes surFet (αp)p∈P⊂R+. Alors maxP:ϕ7−→maxp∈Pp(ϕ)etXαp·p:ϕ7−→Xαp·p(ϕ) p∈P p∈P sont des formes sous-linéaires ou respectivement des semi-normes surF.
EXEMPLE 3SiPest une famille de fonctionnelles sous-linéaires surF, alors supP:ϕ7−→supp∈Pp(ϕ) est une fonctionnelle sous-linéaire. Ceci est également vrai pour les formes sous-linéaires ou les semi-normes, pour autant quesupPsoitÞnie !
EXEMPLE 4Soient(F, p),(G, q)des espaces semi-normés ets∈[1,∞[. Alors 1 p×sq: (ϕ,γ)7−→(p(ϕ)s+q(γ)s)setp×∞q: (ϕ,γ)7−→max (p(ϕ), q(γ)) sont des semi-normes surF×G. La fonction p+q:ϕ7−→p|F∩G(ϕ) +q|F∩G(ϕ) est une semi-norme surF∩G.
EXEMPLE 5SoitXun ouvert deRn. Pour toutϕ∈C(∞)(X), toute partie compacte K⊂X, toutα∈Nnet toutk∈N, on pose pK,k(ϕ) := maxα∈Nn,|α|16kk∂αϕk∞,K et qK,α(ϕ) :=k∂αϕk∞,K. On vériÞe immédiatement que ce sont des semi-normes surC(∞)(X).
EXEMPLE 6Pour simpliÞer lécriture introduisons la fonction indéÞniment dérivable hidi:= 1 +|id|2:Rn−→R∗+:x7−→1 +|x|2. Pour toutϕ∈C(∞)(Rn)etk∈Nposons pk(ϕ) := maxα∈Nn,|α|16k°hidik·∂αϕ°∞∈R+ et qk(ϕ) := maxα∈Nn,|α|16k°hidik·∂αϕ°2∈R+.
LEMMEPour toutx, y∈Rn, on a hx+yi6hxi ·(1 +|y|)262· hxi · hyi et hxi62· hx+yi · hyi. En effet comme1,|x|61 +|x|2, il vient hx+yi= 1 +|x+y|261 +|x|2+ 2|x| · |y|+|y|26 61 +|x|2+ 2¡1 +|x|2¢· |y|+¡1 +|x|2¢· |y|2= =¡1 +|x|2¢·¡1 + 2|y|+|y|2¢=hxi ·(1 +|y|)2. Dautre part il est clair que(1 +|y|)262¡1 +|y|2¢= 2hyi. Finalement hxi=hx+y−yi62· hx+yi · h−yi= 2· hx+yi · hyi.
On dit que2· hidiest unpoids sous-multiplicatif.
e PROPOSITIONSoitp:F−→R. (i) Sipest une fonctionnelle sous-linéaire, on a p(ϕ)>−p(−ϕ)pour toutϕ∈F. (ii) Sipest une forme sous-linéaire, on a |p(ψ)−p(ϕ)|6max [p(ψ−ϕ), p(ϕ−ψ)]pour toutϕ,ψ∈F. (iii) Sipest une semi-normep, on a |p(ϕ)−p(ψ)|6p(ϕ−ψ)pour toutϕ,ψ∈F.
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En effet on a 0 = 0·p(0) =p(0) =p(ϕ−ϕ)6p(ϕ) +p(−ϕ), donc (i). Sipest sous-linéaire, remarquons tout dabord que p(ψ) =p(ψ−ϕ+ϕ)6p(ψ−ϕ) +p(ϕ), donc que p(ψ)−p(ϕ)6p(ψ−ϕ). On en déduit alors que |p(ψ)−p(ϕ)| [= maxp(ψ)−p(ϕ), p(ϕ)−p(ψ)]6max [p(ψ−ϕ), p(ϕ−ψ)], ce quiÞnit de prouver (ii). La dernière assertion est alors immédiate.¤ DEFINITION 2Si(qj)j∈J⊂SL(F), on pose := infqj¡ϕj¢∈Rpour toutϕ∈F. j∈^Jqj(ϕ()ϕj)j∈J∈F(J),Pj∈Jϕj=ϕj∈XJ SiXest un ensemble,Aune partie deXetf:A−→R, on désigne parf∞la fonction surXobtenue en prolongeantfpar∞hors deA. On écriVj∈{1,2}qj. tq1∧q2à la place de
THEOREMESoientp∈SL(F)et(qj)j∈J⊂SL(F). (i) On ap6qjpour toutj∈Jsi, et seulement si,p6Vj∈Jqj. (ii) SiVj∈Jqj>−∞surF, alorsVj∈Jqj∈SL(F). Si tous lesqjsont absolument homogènes, il en est de même deVj∈Jqj. e (iii) SoientCun sous-cône convexe deFetr:C−→Rune fonctionnelle positivement e homogène et sous-additive. Alors la fonctionneller∞:F−→Rappartient àSL(F). Démonstration de (i)Cette assertion est importante, puisquelle ramène un problème à plusieurs inégalités (même une inÞproblème à une seule inégalité. Etant donné à un nité !) ϕ∈Fet¡ϕj¢j∈J∈F(J)tels quePj∈Jϕj=ϕ, si pour toutj∈J, on ap6qj, alors p(ϕ) =pÃ∈XJϕj!6j∈XJp¡ϕj¢6j∈XJqj¡ϕj¢, j doncp(ϕ)6Vj∈Jqj(ϕ)en passant à linÞmum. Réciproquement étant donnék∈J, on a p(ϕ)6^qj(ϕ)6qk(ϕ) j∈J en considérant la famille¡ϕj¢j∈JdéÞnie par ϕj=k ϕj:=si . 0sinon Démonstration de (ii)Pour toutα∈R∗+etϕ∈F, on a tout dabord ^qj(α·ϕ () = infϕj),Pj∈Jϕj=α·ϕXq j∈Jj∈J∈F(J)j∈jJ¡ϕj¢=
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2.1 =α·ni(fϕj(J),Pj∈Jϕαj=ϕXqj³αϕj´=α·^qj(ϕ). )j∈J∈jF∈J j∈J On en déduit que −∞<^qj(0) =^qj(2·0) = 2·^qj(0)60, j∈J j∈J j∈J doncVj∈Jqj(0) = 0. Si en plus chaqueqjest absolument homogène, il est clair queVj∈Jqj lest aussi. Finalement, pour toutϕ,ψ∈Fet¡ϕj¢j∈J,¡ψj¢j∈J⊂F(J)tels quePj∈Jϕj=ϕet Pj∈Jψj=ψ, il vientPj∈J¡ϕj+ψj¢=ϕ+ψ, donc ^qj(ϕ+ψ)6Xqj¡ϕj+ψj¢6Xqj¡ϕj¢+Xqj¡ψj¢ j∈J j∈J j∈J j∈J et par suite ^qj(ϕ+ψ)6^qj(ϕ) +^qj(ψ), j∈J j∈J j∈J ce qui montre queVj∈Jqjest sous-additive. Démonstration de (iii)Cest immédiat.¤ EXEMPLE 7SoientFetGdes sous-espaces vectoriels deH,petqdes semi-normes respectivement surFetG. Alorsp∞∧q∞est une semi-norme surF+G. Remarquons que, pour toutθ∈F+G, on a p∞∧q∞(θ) = inf{p(ϕ) +q(ψ)|ϕ∈F ,ψ∈Getϕ+ψ=θ}. Cest immédiat, puisquep∞∧q∞>0.
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Espaces polynormés 2.2 2.2 Espaces polynormés DEFINITION 1Soitpest une semi-norme surF. Siϕ∈Fetr∈R∗+, on pose Bp(ϕ, r) :={ψ∈F|p(ψ−ϕ)6r} et = Dp(ϕ, r) :{ψ∈F|p(ψ−ϕ)< r}. SoitPun ensemble de semi-normes surF. Pour toute partieÞnieP⊂PetrP:= (rp)p∈P⊂R∗+, on dit que BP(ϕ, rP) :=\Bp(ϕ, rp)etDP(ϕ, rP) :=\Dp(ϕ, rp) p∈P p∈P sont respectivement uneboule ferméeet uneboule ouverte de centreϕ(par rapport àP). On dit quune partieO⊂Festouverte(par rapport àP) si, pour toutϕ∈O, il existe une boule ferméeBde centreϕcontenue dansO. On peut remplacer boule fermée par boule ouverte. Il suffit de remarquer que lon a rP BP³ϕ,2´⊂Dp(ϕ, rP)⊂Bp(ϕ, rP). PROPOSITIONLensembleTPdes parties deFouvertes par rapport àPest une topologie surF. Cest facile (cf. cours dAnalyse [17], proposition 10.12).¤ DEFINITION 2On dit que(F,P)est unespace polynorméet queTPest latopologie associée, ou bien latopologie déÞnieparP. Nous utiliserons les notions topologiques (cf. appendice 1). Elles sont calquées sur celles qui ont été développées dans le cours dAnalyse [17], chapitre 10, dans le cadre des espaces métriques. REMARQUE 1En écrivantψ=ϕ+ (ψ−ϕ), on voit que BP(ϕ, rP) =ϕ+BP(0, rP) =ϕ+\−p1([−rp, rp]) p∈P et DP(ϕ, rP) =ϕ+DP(0, rP) =ϕ+\−p1(]−rp, rp[). p∈P Ceci montre en particulier quune translation ¦−ϕ:F−→F:ψ7−→ψ−ϕ Claude Portenier ESPACES LOCALEMENT CONVEXES91
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est continue, puisque pour tout ouvertOdeF, on a(¦−ϕ)−1(O) =ϕ+Oet cet ensemble est ouvert.
REMARQUE 2En∈Pp, on a posantq:= maxprp BP(ϕ, rP) =Bq(ϕ,1). En effet les inégalités p(ψ−ϕ)6rppour toutp∈P sont équivalentes à p max (ψ−ϕ)61. p∈Prp
REMARQUE 3Siqest une semi-norme surF, alors F=[Bq(0, r) =[Dq(0, r). ∗ r∈R+r∈R∗+
REMARQUE 4Siqest une semi-norme surF, alors{q= 0}est un sous-espace vectoriel, qui peut être de dimension inÞnie ! On a {q= 0}=\Bq(ϕ, r) =\Dq(ϕ, r). r∈R∗+r∈R∗+ Siqest une semi-norme continue surF, alors}=−1 {q= 0q({0})est un sous-espace vectoriel fermé deF, puisque{0}est fermé dansR+.
REMARQUE 5Remarquons quune partieVdeFest un voisinage deϕ∈F, i.e. queϕ est un point intérieur àVsi, et seulement si, il existe une boule de centreϕcontenue dansV.
EXEMPLETout espace normé est évidemment un espace polynormé. Voici une liste des espaces normés, les quatre premiers sont des espaces de Banach, que nous supposons connus. (a)³Kn,|·|p´. (b) Exercice : SoientXun ensemble etp∈[1,∞]: `p(X) :=Lp(#) =(f∈KX¯kfkpp:=x∈XX|f(x)|p<∞) muni de la norme f7−→kfkp:=kfkp,#=Ãx∈XX|f(x)|p!1p, où#désigne lintégrale de comptage surXmuni de la métrique discrète. Cest donc un cas particulier de lexemple (d).
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(c) SoitXun espace topologique séparé :C0(X)⊂Cb(X)⊂`∞(X)munis de la norme uniformek·k∞dAnalyse [17], § 10.5 et 10.19).(cf. cours (d) SoientXun espace topologique séparé,µune intégrale de Radon surXetp∈[1,∞]: ³Lp(µ),k·kp´(cf. cours dAnalyse [17], § 15.13 et 15.14). (e) SoientF, Gdes espaces normés : (F×G,kpr1kF+kpr2kG),(F×G,max (kpr1kF,kpr2kG)). (f) Exercice : SoientFun espace normé etHsous-espace vectoriel fermé deF:F /H(cf. proposition 2.8).
LEMMESoientpune semi-norme etqune fonctionnelle sous-linéaire surF. Pour queq soit majorée parM∈R+surBp(0,1), il faut et il suffit que q6M·p. Dans ce cas, la plus petite des constantesM∈R+satisfaisant à cette inégalité est supq(ϕ). ϕ∈F,p(ϕ)61 La condition est nécessaire, car pour toutϕ∈Ftel quep(ϕ)>0, on ap³p(ϕϕ)´= 1, donc p1(ϕ)·q(ϕ) =qµp(ϕϕ)¶6M, ce qui prouve linégalité dans ce cas. Sip(ϕ) = 0, on ap(α·ϕ) =α·p(ϕ) = 0pour tout α∈R+, doncα·q(ϕ) =q(α·ϕ)6M∈R+, ce qui montre queq(ϕ)60et prouve aussi linégalité dans ce cas. La réciproque et la dernière assertion sont triviales.¤
COROLLAIRESoient(F,P)un espace polynormé etqune forme sous-linéaire surF. Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i)qest continue. (ii)qest continue en0. (iii) Il existe une boule de centre0sur laquelleqest majorée. (iv) Il existec∈R+et un ensembleÞniP⊂Pde semi-normes tels que q6c·maxP.
(i)⇒(ii)Cest évident. (ii)⇒(iii)Siqest continue en0, il existe une partie ouverteOcontenant0telle que q(O)⊂]−1,1[. Par déÞnition dune partie ouverte, on a bien (iii). (iii)⇒(iv)Siqest majorée parM∈R+surBP(0, rP), en posantr:= minp∈Prpet c:=rM, alorsqest majorée parcsurBmaxP(0,1). En effet pour toutϕ∈BmaxP(0,1), il vientp(r·ϕ)6r6rp, donc r·ϕ∈BP(0, rP), et par suiter·q(ϕ)6M. Linégalité découle donc de la proposition.
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(iv)⇒(i)Montrons queqest continue enϕ∈F. Pour toutψ∈F, la proposition 2.1.(ii) et lhypothèse montre que |q(ψ)−q(ϕ)|6max [q(ψ−ϕ), q(ϕ−ψ)]6c·maxP(ψ−ϕ). Pour toutε>0, siψ∈BP¡ϕ,cε¢, on amaxP(ψ−ϕ)6εc, donc |q(ψ)−q(ϕ)|6ε, ce quil fallait démontrer.
¤
REMARQUE 6Les semi-normesp∈Psont évidemment continues. Par les remarques 1 et 2, toute boule par rapport àPest de la forme Bq(ϕ,1) =ϕ+Bq(0,1) = [q◦(¦−ϕ)]−1([0,1]), respectivement Dq(ϕ,1) =ϕ+Dq(0,1) = [q◦(¦−ϕ)]−1([0,1]), oùqest une semi-norme continue par le corollaire (iv). En particulier les boules fermées et ouvertes par rapport àPsont fermées respectivement ouvertes pourTP.
EXERCICEOn a BP(ϕ, rP)◦D(ϕ, rP). =P SiTest une application (semi-) linéaire etqune semi-norme ou une fonctionnelle sous-linéaire surG, alors il en est de même deq◦T.
THEOREMESoient(G,Q)un espace polynormé etT:F−→Gune application (semi-) linéaire. Pour queTsoit continue, il faut et il suffit queq◦Tsoit continue surFpour tout q∈Q. La condition est évidemment nécessaire, puisqueqest continue surG. Réciproquement la continuité deTenϕ∈Fet celle en0sont équivalentes, puisque la translation¦−ϕest continue (cf. remarque 1) : Tψ−Tϕ=T(ψ−ϕ) =T◦(¦−ϕ) (ψ). SiOest un ouvert dansGcontenant0, il existe une boule ouverte DQ(0, rQ) =\−1]− q(rq,rq[)⊂O. q∈Q Il vient alors −T1(DQ(0, rQ)) =\−T1³−q1(]−rq,rq[)´=\(q◦T)−1(]−rq,rq[), q∈Q q∈Q et le membre de droite est une partie ouverte dansFcontenant0par hypothèse. Le resultat en découle puisque Tµ−T1(DQ(0, rQ))¶⊂DQ(0, rQ)⊂O.