a Pour tout réel x f1 x xe x

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
EXERCICE 3 PARTIE A 1) a) Pour tout réel x, f1(x) = xe?x. Limite de f1 en ?∞. lim x??∞ x = ?∞ et lim x??∞ e?x = lim X?+∞ eX = +∞. Donc lim x??∞ f1(x) = lim x??∞ xe?x = ?∞. Limite de f1 en +∞. Pour tout réel non nul x, f1(x) = x ex = 1 ex/x . D'après un théorème de croissances comparées, on sait que lim x?+∞ ex x = +∞ et donc lim x?+∞ f1(x) = lim x?+∞ 1 ex/x = 0. lim x??∞ f1(x) = ?∞ et lim x?+∞ f1(x) = 0. b) La fonction f1 est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et pour tout réel x, f ?1(x) = 1? e ?x + x? (?1)? e?x = (1? x)e?x. Pour tout réel x, e?x > 0 et donc pour tout réel x, f ?(x) est du signe de 1 ? x. Par suite, la fonction f ?1 est strictement positive sur ] ?∞, 1[ et strictement négative sur ]1,+∞[ puis la fonction f1 est strictement croissante sur ] ?∞, 1] et strictement décroissante sur [1,+∞[.

• droites d'équations respectives


• puisque lim


• axe des abscisses


• équation de tk


• point de coordonnées


• xe?x dx

Informations

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• Langue: Français

Extrait

EXERCICE 3

PARTIE A

−x 1) a)Pour tout réelx,f 1 (x) =xe. −x X−x Limite def 1 en−∞.limx=−∞et lime=lime= +∞. Donclimf 1 (x) =limxe=−∞. x→−∞x→−∞ X→+∞ x→−∞x→−∞ x 1 Limite def 1 en+∞.Pour tout réel non nulx,f 1 (x=) =. D’après un théorème de croissances comparées, on x x e e/x x e 1 sait quelim= +∞et donclimf 1 (x) =lim=0. x x e/x x→+∞x→+∞x→+∞

limf 1 (x) =−∞et limf 1 (x) =0. x→−∞x→+∞

b)La fonctionf 1 est dérivable surRen tant que produit de fonctions dérivables surRet pour tout réelx,

!−x−x−x f(x) =1×e+x×(−1)×e= (1−x)e. 1 −x! ! Pour tout réelx,0e >et donc pour tout réelx,f(x)est du signe de1−x. Par suite, la fonctionfest strictement 1 positive sur]−∞, 1[et strictement négative sur]1,+∞[puis la fonctionf 1 est strictement croissante sur]−∞, 1]et strictement décroissante sur[1,+∞[. On en déduit le tableau de variations de la fonctionf 1 : x−∞1+∞ ! f(x) +0− 1 −1 e f 1 −∞0 c)La courbeC 1 admet une tangente parallèle à(Ox)en son point d’abscisse1. La tangenteT k n’est pas parallèle à(Ox). L’entierkn’est donc pas égal à1ou encore l’entierkest supérieur ou égal à2. 2) a)Si un pointMappartient à toutes les courbesC n ,n!1, alorsMappartient aux courbesC 1 etC 2 et donc son abscissexest solution de l’équationf 1 (x) =f 2 (x). Soitxun réel.

−x 2−x−x 2−x−x f 1 (x) =f 2 (x)⇔xe=x e⇔xe−x e=0⇔x(1−x)e=0 −x ⇔x(1−x) =0(care"=0) ⇔x=0oux=1.

Les courbesC 1 etC 2 ont exactement deux points communs, les points de coordonnées respectives(0, 0)(carf 1 (0) =0) et ! " 1 1 1,(carf 1 (1) =). Les courbesC n ,n!1, ont donc au plus deux points en commun. e e n−0 Réciproquement, pour tout entier naturel non nuln,f n (0) =0 e=0et donc le pointO(0, 0)appartient à toutes les courbesC n ,n!1. ! " 1 1 n−1 De même, pour tout entier naturel non nuln,f n (1) =1×e=et donc le point de coordonnées1,appartient e e à toutes les courbesC n ,n!1. ! " 1 Les courbesC n ,n!1, ont exactement deux points communs, les points de coordonnées(0, 0)et1,. e

b)Soitn!2. La fonctionf n est dérivable surRen tant que produit de fonctions dérivables surRet pour tout réelx,

!n−1−x n−x n−1−x n−x n−1−x f(x) =nx e+x(−1)e=nx e−x e=x(n−x)e. n

!2−x! 3)En particulier, pour tout réelx,f(x) =x(3−x)e. Donc, la fonctionfest strictement positive sur]−∞, 0[∪]0, 3[ 3 3 et strictement négative sur]3,+∞[puis la fonctionf 3 est strictement croissante sur]−∞, 3]et strictement décroissante sur[3,+∞[. La fonctionf 3 admet donc un maximum atteint enx=3. !−1!k−1−1−1 4) a)Soitk!2. Une équation deT k esty=f k (1) +f(1)(x−1)avecf k (1) =eetf(1) =1(k−1)e= (k−1)e. k k

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