6Epreuve ecrite de mathematiques generalesPreambule et notations preliminairesCeproblemeintroduitlesoperateursdeDunkldeparametrek dontonadmetlacommutativite.On etudie d’abord le cas k = 0, puis le rang 1 et en n certaines proprietes remarquables endimensionn.OnutilisecesoperateurspourdemontreruneformuledeMacDonaldsurl’integralede Mehta.Les deux premieres parties sont independantes. La troisieme partie n’utilise que le I.2. On designe par N l’ensemble des entiers naturels positifs ou nuls et par R l’ensemble desnombres reels. Dans ce probleme n est un entier superieur ou egal a 2. On note e ,...,e la base1 nn ncanonique de R . On munit R de sa structure euclidienne usuelle dont le produit scalaire estnote (,). On note R[X ,...,X ] l’algebre des polynˆomes en n indeterminees a coe cients dans R.1 nTout polynˆome P de R[X ,...,X ] s’ecrit de maniere unique1 nX 1 nP = a X ...X 1 nn=( ,..., )∈N1 nou les a sont des reels nuls sauf pour un nombre ni d’entre eux.Le polynˆome P etant xe, on note supp(P) l’ensemble des tels que a = 0;αX 1 nainsi on peut ecrire P = a X ...X . 1 n∈supp(P)Si P est un polynˆome de R[X ,...,X ], P designe aussi, par abus de notation, la fonction1 nnpolynomiale associee et on note P(x) l’evaluation de P en x∈R .nX 1 n Le monˆome X X est de degre . Un polynˆome P non nul est dit homogene dei1 ni=1degre d si P est combinaison lineaire non nulle de monˆomes ...
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Epreuve ecrite de mathematiques generales
Preambule et notations preliminaires
CeproblemeintroduitlesoperateursdeDunkldeparametrek dontonadmetlacommutativite.
On etudie d’abord le cas k = 0, puis le rang 1 et en n certaines proprietes remarquables en
dimensionn.OnutilisecesoperateurspourdemontreruneformuledeMacDonaldsurl’integrale
de Mehta.
Les deux premieres parties sont independantes. La troisieme partie n’utilise que le I.2.
On designe par N l’ensemble des entiers naturels positifs ou nuls et par R l’ensemble des
nombres reels.
Dans ce probleme n est un entier superieur ou egal a 2. On note e ,...,e la base1 n
n ncanonique de R . On munit R de sa structure euclidienne usuelle dont le produit scalaire est
note (,).
On note R[X ,...,X ] l’algebre des polynˆomes en n indeterminees a coe cients dans R.1 n
Tout polynˆome P de R[X ,...,X ] s’ecrit de maniere unique1 n
X
1 nP = a X ...X 1 n
n=( ,..., )∈N1 n
ou les a sont des reels nuls sauf pour un nombre ni d’entre eux.
Le polynˆome P etant xe, on note supp(P) l’ensemble des tels que a = 0;α
X
1 nainsi on peut ecrire P = a X ...X . 1 n
∈supp(P)
Si P est un polynˆome de R[X ,...,X ], P designe aussi, par abus de notation, la fonction1 n
npolynomiale associee et on note P(x) l’evaluation de P en x∈R .
n
X
1 n Le monˆome X X est de degre . Un polynˆome P non nul est dit homogene dei1 n
i=1
degre d si P est combinaison lineaire non nulle de monˆomes de degre d. On note alors deg(P)
ce degre.
Y n(n 1)
On note le polynˆome (X X ); il est homogene de degre j i
2
16i