Baccalaureat 2000 mathematiques scientifique recueil d'annales

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[BaccalauréatS2000\ L’intégraledeseptembre1999à juin2000 Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus Antilles-Guyaneseptembre1999 .........................3 Franceseptembre1999 ...................................8 Sportifsdehaut-niveauseptembre1999 ................12 AmériqueduSudnovembre1999 .......................15 Nouvelle-Calédoniedécembre1999 ....................19 Pondichéryavril2000 ...................................24 AmériqueduNordjuin2000 ............................28 Antilles-Guyanejuin2000 ...............................33 Asiejuin2000 ........................................... 38 Centresétrangersjuin2000 .............................42 Francejuin2000 .........................................46 LaRéunionjuin2000 ....................................50 Libanjuin2000 ..........................................54 Polynésiejuin2000 ......................................57 Tapuscrit:DenisVergès:[e-mail]BaccalauréatS L’intégrale2000 2[BaccalauréatSAntilles-Guyaneseptembre1999\ EXERCICE 1 4,5points Communàtouslescandidats Danstoutl’exerciceonconsidère20boulesindiscernablesautoucher(10noires et 10 blanches) et deux urnesA et B danschacune desquelles on placera 10 boules suivantunmodequiseraprécisédanschaquequestion. 1. On choisit dix boules au hasard et on les met dans l’urne A. On place les dix autresboulesdansl’urneB. a. Quelle est la probabilité pour que les deux urnes ne contiennent cha- cunequedesboulesdemêmecouleur? b. Quelleestlaprobabilitépourquelesdeuxurnescontiennentchacune5 boulesblancheset5boulesnoires? 2. Soit x un entier tel que 06 x6 10. On place maintenant x boules blanches et10−x boules noiresdansl’urne Aetles 10−x boules blanches et x boules noiresrestantesdansl’urneB.Onprocèdeàl’expérienceE: On tire au hasard une boule de A et on la met dans B, puis on tire au hasard unebouledeBetonlametdansA. OndésigneparMl’évènement«chacunedesdeuxurnesalamêmecomposi- tionavantetaprèsl’expérience». a. Pourcettequestiona.,onprendx=6. Quelleestlaprobabilitédel’évènement M? b. Montrerquelaprobabilitédel’évènementMestégaleà: 1 ¡ ¢2−x +10x+5 . 55 c. Pour quelles valeurs de x l’évènement M est-il plus probable que l’évè- nementcontraireM? EXERCICE 2 5,5points Enseignementobligatoire ³ ´→− →− Le plan complexe est rapporté àun repèreorthonormal direct O, u , v .Pour toutpointP,onconvientdenoterz sonaffixe.P 31. Onconsidèredansl’ensembledescomplexesl’équation(E): z +8=0. 3 2a. Déterminerlesnombresréelsa, b, c telsquez +8=(z+2)(az +bz+c) pourtoutcomplexez. b. Résoudre l’équation (E) (on donnera les solutions sous la forme x+yi, avecx et y réels).BaccalauréatS L’intégrale2000 iθc. Écrirecessolutionssouslaformere ,oùr estunréelpositif. p p 2. On considère les points A, B, C d’affixes respectives - 2, 1 - i 3 et 1 + i 3, le 2π pointDmilieude[OB]etlarotationRdecentreOetd’angle . 3 a. MontrerqueR(A)=B,R(B)=CetR(C)=A.EndéduirequeletriangleABC estéquilatèral. PlacerA,B,C,Ddansleplan. −→ −→ b. OnconsidèrelepointLdéfiniparAL=OD.Déterminersonaffixez .L zL Déterminerunargumentde . zD−→ −→ EndéduirequelevecteurOLestorthogonalauvecteurODetauvecteur−→ AL. MontrerqueLestsurlecercledediamètre[AO]. PlacerLsurlafigure. EXERCICE 2 5,5points Enseignementdespécialité ³ ´→− →− Leplanestmunid’unrepèreorthonormaldirect O, ı ,  . ′OndonnelepointA(6;0)etlepointA (0;2). ′ÀtoutpointM del’axedesabscissesdifférentdeAonassocielepointM telque: ³ ´−−−→ π−−→′ ′ ′ ′AM=A M et AM , A M = mod2π. 2 ′Onadmetl’existenceetl’unicitédeM . On réalisera une figure avec, pour unité graphique 0,5 cm et pour cette figure, on prendra−4pourabscissedeM. 1. SoitM unpointdel’axedesabscissesdifférentdeA. ′a. PlacerlepointM surlafigure. b. Pourcettequestiononpourradonnerunedémonstrationpurementgéomé- triqueouutiliserlesnombrescomplexes. Démontrerqu’ilexiste uneuniquerotation,dontonpréciseralecentre, ′ ′notéIetl’angle,quitransformeAenA etM enM . PlacerIsurlafigure. ′c. Démontrerquelamédiatricede[MM ]passeparI. ′2. On veut déterminer et construire les couples de points (M, M ) vérifiant la ′conditionsupplémentaire MM =20. ′a. Calculer IM etdémontrer qu’il existe deuxcouples solutions :(M , M )1 1′et(M , M ).2 2 b. Placercesquatrepointssurlafigure. Antilles–Guyane 4 septembre1999BaccalauréatS L’intégrale2000 PROBLÈME 10points Communàtouslescandidats Étuded’unefonctionetrésolutiond’uneéquationliéeàcettefonction. Danstoutleproblème,onconsidèrelafonctionréelle f delavariableréellexdéfinie sur]0; +∞[par: Ã ! 1 f(x)=ln 1+ . x OnnoteC sacourbereprésentativedansleplanrapportéàunrepèreorthonormal³ ´→− →− O, ı ,  (unitégraphique:4cm). PartieA Étudedusensdevariationdelafonction f ′1. a. Calculer f (x) et étudier son signe sur ] 0;+∞[. En déduire le sens de variationde f sur]0;+∞[. b. Déterminerleslimitesde f en+∞eten0. c. Dresserletableaudevariationsde f. 2. Montrer que, pour tout x élément de l’intervalle I = [0,7; 0,9], f(x) est aussi ′élémentdeIetque|f (x)|60,9. PartieB Onse propose danscette partiede montrer que l’équation f(x)=x a une solution unique dansl’intervalle ]0 ; +∞[ etde donner une valeur approchée decette solu- tionàl’aided’unesuite. 1. Onconsidèrelafonctiong définiesur]0;+∞[par:Ã ! 1 g(x)=ln 1+ −x. x a. Déterminerleslimitesdeg en+∞eten0. b. Montrerqueg estunefonctionstrictementdécroissantesur]0; +∞[. c. Montrerquel’équationg(x)=0admetunesolutionunique,quel’onno- teraα,appartenantàl’intervalleI=[0,7;0,9].Montrerquecetteéquation n’apasd’autresolutiondans]0;+∞[. d. Quepeut-onendéduirepourl’équation f(x)=x?Surlegraphiquejoint en annexe, que l’on rendra avec la copie, figure la partie de la courbe C dont les points ont une abscisse comprise entre 0,7 et 0,9 et le seg- ment[AB],oùAetBsontlespointsdecoordonnéesrespectives(0,7;0,7) et (0,9; 0,9). Que représente le point de coordonnées (α ; f(α)) pour la courbeC et le segment [AB]? Placer ce point sur le graphique joint en annexe. 2. Onconsidèrelasuiteréelle(a )définiepara =0,7eta = f(a )pourtoutn 0 n+1 n entiernatureln. Antilles–Guyane 5 septembre1999BaccalauréatS L’intégrale2000 a. Montrerque,pourtoutentiernatureln, a estélémentdeI.n b. Construire sur le graphique joint en annexe les éléments de (a ) pourn n=1, 2, 3, 4. Justifierquelasuiten’estpasmonotone. c. Démontrer,enutilisantl’inégalitédesaccroissementsfinis,que |a −α|60,9|a −α| pourtoutentiern.n+1 n d. Démontrer,enutilisantunraisonnementparrécurrence,que n|a −α|6(0,9) ×0,2pourtoutentiern.n Endéduirequelasuite(a )convergeversα.n 3. a. Montrer que si x <α alors f(x)>α et que si x >α alors f(x)<α. On admetque,pourtoutentiernaturelnpair,a <αetquepourtoutentiern natureln impair,a >α.n b. Letableaudevaleurssuivantaétéécritparunélèveayantrecopiélesré- sultatsdonnésparunlogicielinformatiquepourlecalculdesvaleursap- prochéesdestermesdelasuite(a ),enneretenantqueles5premièresn décimales.Or,unevaleuraétéincorrectementrecopiée. Quelle estlaplus petite valeur del’entiern pour laquelle onestsûr que lavaleurapprochéeécritedea estincorrecte?n Pourquoi?Soitpcettevaleur.Calculeràlacalculatriceunevaleurappro- chéedea etvérifierlavaleurapprochéedea écritdansletableau.p p+1 Peut-onaffirmeràl’aidedecetableauque0,80640<α<0,80651? n= a n= an n 0 0,70000 12 0,80523 1 0,88730 13 0,80731 2 0,75471 14 0,80588 3 0,84371 15 0,80686 4 0,78172 16 0,80619 5 0,82383 17 0,80665 6 0,79472 18 0,80633 7 0,81461 19 0,80655 8 0,80091 20 0,80640 9 0,81029 21 0,80650 10 0,80884 22 0,80643 11 0,80826 Antilles–Guyane 6 septembre1999Ã ! 1 y=ln 1+ x BaccalauréatS L’intégrale2000 Annexe1 Partie de la courbeC dont les points ont une abscisse comprise entre 0,69 et 0,91 etlesegment[AB],oùAetBsontlespointsdecoordonnéesrespectives(0,7;0,7)et (0,9;0,9). 0,90 ×B 0,85 0,80 0,75 A 0,70 × 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 Antilles–Guyane 7 septembre1999 y=x[BaccalauréatSFranceseptembre1999\ EXERCICE 1 4points Communàtouslescandidats Dans tout l’exercice, on donnera les résultats sous forme de fractions irréduc- tibles. Une urne contient trois boules noires et une boule blanche. On considère l’expé- riencesuivante: On lance un jeton parfaitement équilibré, présentant une face noire et une face blanche. Si le jeton tombe sur la face blanche, on ajoute une boule blanche dans l’urne;silejetontombesurlafacenoire,onajouteuneboulenoiredansl’urne. Puisontiresimultanément, etauhasard,troisboulesdel’urne. 1. Onappelle E l’évènement :«Aucune bouleblanchenefigureparmiles trois0 boulestirées»etBl’évènement :«Lejetonesttombésurlafaceblanche». a. CalculerP(E ∩ B),P(E ∩B),puisP(E ).0 0 0 b. On tire trois boules de l’urne, aucune boule blanche ne figure dans ce tirage.Quelleestlaprobabilitéquelejetonsoittombésurlafacenoire? 2. OnappelleE l’évènement :«Unebouleblancheetuneseulefigureparmiles1 troisboulestirées»etBl’évènement:«Lejetonesttombésurlafaceblanche». a. Calculerlaprobabilitédel’évènement E .1 b. On effectue successivement quatre fois l’expérience décrite au début, quiconsisteàlancerlejeton,puisàtirerlestroisboulesdel’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir, au moins une fois, une et une seule bouleblanche? Exercice2 5points Enseignementobligatoire ³ ´→− →− Leplanestrapportéaurepèreorthonormaldirect O, u , v (unitégraphique: 2cm).OnnoteZ l’affixed’unpointM.M SoitAlepointd’affixe4etBlepointd’affixe4i. 1. Soitθ unréelde[0,2π[etr unréelstrictementpositif. iθOnconsidèrele pointE d’affixere etF le point tel queOEF estun triangle³ ´ π−→ −→ rectangleisocèlevérifiant OE, OF = . 2 Quelleest,enfonctionder etθ,l’affixedeF ? 2. Faire une figureet la compléter au fur et à mesure de l’exercice. On choisira, uniquementpourcettefigure: π θ=5 etr=3. 6BaccalauréatS L’intégrale2000 3. OnappelleP,Q, R, Slesmilieuxrespectifsdessegments[AB],[BE],[EF], [FA]. a. ProuverquePQRS estunparallélogramme. Z −ZR Q b. Onpose:Z= . Z −ZQ P Déterminer le module et un argument de Z. En déduire que PQRS est uncarré. 4. a. Calculer,enfonctionder etθ,lesaffixesrespectivesdespointsPetQ. b. Quelleest,enfonctionder etθ,l’aireducarréPQRS? c. r étantfixé,pourquellevaleurdeθcetteaireest-ellemaximale? Quelleestalorsl’affixedeE ? EXERCICE 2 5points Enseignementdespécialité ³ ´→− →− Soit le r