Baccalaureat 2002 mathematiques scientifique recueil d'annales

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[BaccalauréatS2002\ L’intégraledeseptembre2001à juin2002 Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus Antilles-Guyaneseptembre2001 ..................... 3 Franceseptembre2001 ............................... 6 Polynésiespécialitéseptembre2001 .................10 Nouvelle-Calédoniedécembre2001 .................13 AmériqueduSuddécembre2001 ....................16 Pondichéryavril2002 ................................19 AmériqueduNordjuin2002 .........................22 Antilles-Guyanejuin2002 ........................... 26 Asiejuin2002 ........................................29 Centresétrangersjuin2002 ..........................33 Francejuin2002 ..................................... 36 LaRéunionjuin2002 ................................ 40 Polynésiejuin2002...................................44BaccalauréatS année2002 2[BaccalauréatSAntilles–Guyaneseptembre2001\ EXERCICE 1 4points Communàtouslescandidats Soitm unnombreréelet f lafonctiondéfiniesurRpar: ½ f(x) = msinx pourx∈[0; π] f(x) = 0 sinon. 1. Déterminerleréelm telque f soitunedensitédeprobabilité. 2. Représenter f dansunrepèreorthonormé. 3. Soit X unevariablealéatoiredont f estunedensitédeprobabilité. DéfinirlafonctionderépartitiondeX puisreprésentergraphiquementF dans unrepèreorthonormé. µ ¶ π 3π 4. Calculerlaprobabilitép 6X6 . 4 4 5. Calculerlesprobabilitésp(X>0)etp(X60). EXERCICE 2 5points Enseignementobligatoire ³ ´→− →− Leplanestrapportéàunrepèreorthonormaldirect O, u , v . 1. Résoudre dans l’ensembleC des nombres complexes l’équation d’inconnue z : p 2z +8z 3+64=0. 2. On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombresp p complexes a=−4 3−4ietb=−4 3+4i. CalculerlesdistancesOA,OBetAB. EndéduirelanaturedutriangleOAB.p 3. OndésigneparClepointd’affixec= 3+ietparDsonimageparlarotation π decentreOetd’angle .Déterminerl’affixed dupointD. 3 4. OnappelleGlebarycentredespointspondérés(O; −1),(D;1)et(B;1). p a. MontrerquelepointGapouraffixeg=−4 3+6i. b. PlacerlespointsA,B,C,DetGsurunefigure.(Unitégraphique:1cm). c. DémontrerquelequadrilatèreOBGDestunparallélogramme. p c−g 1 3 5. a. Justifierl’égalité = +i . a−g 2 2 ³ ´−→ −→ b. Endéduireunemesureenradiansdel’angle GA, GC ,ainsiquelava- GC leurdurapport . GA Quepeut-onendéduireconcernantlanaturedutriangleAGC? EXERCICE 2 5points EnseignementdespécialitéBaccalauréatS année2002 1. Soienta etb desentiersnaturelsnonnulstelsquePGCD(a+b; ab)=p,oùp estunnombrepremier. 2 2a. Démontrerquep divisea .(Onremarqueraquea =a(a+b)−ab.) b. Endéduirequep divisea. Onconstatedonc,demême,quep diviseb. c. DémontrerquePGCD(a, b)=p. 2. Ondésignepara etb desentiersnaturelstelsquea6b. a. Résoudrelesystème ½ PGCD(a, b) = 5 PPCM(a, b) = 170 b. Endéduirelessolutionsdusystème: ½ PGCD(a+b, ab) = 5 PPCM(a, b) = 170 PROBLÈME 11points³ ´→− →− Le plan est rapporté à un repèreorthonormal O, ı ,  . On considère la fonction f,définiesurl’intervalle[0;+∞[par: 2f(x)=−3−lnx+2(lnx) . Onnote(C)sacourbereprésentative. PartieA-Étudedelafonction f ettracédelacourbe(C) 1. a. Résoudredans]0;+∞[l’équation f(x)=0.(Onpourraposerlnx=X). b. Résoudredans]0;+∞[l’inéquation f(x)>0. 2. a. Déterminerleslimitesde f en0eten+∞. ′b. Calculer f (x). c. Étudierlesensdevariationde f etdressersontableaudevariations. 3. Déterminer une équation dela tangente (T ) à la courbe(C) aupoint d’abs- 5 4cissee . 4. On se propose d’étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (T ). Pourcela,onconsidèrelafonctionϕ,définiesur]0;+∞[par: µ ¶ 5 41−4ϕ(x)= f(x)− 4e x− . 8 4lnx−1 5−′ ′′4a. Montrerqueϕ (x)= −4e puiscalculerϕ (x). x ′b. Étudierlesensdevariationdeϕ sur]0;+∞[. ′Endéduireque,pourtoutx appartenantà]0; +∞[,onaϕ (x)60.³ ´ 5 4c. Calculerϕ e .Pour tout x appartenant à ]0; +∞[déterminer le signe deϕ(x). Endéduirelapositiondelacourbe(C)parrapportàladroite(T ). 5. Tracerlacourbe(C)etladroite(T ).(Unitégraphique:2cm). PartieB-Calculd’uneaire Antilles-Guyane 4 septembre2001BaccalauréatS année2002 1. Vérifier que la fonction h, définie par x 7! xlnx−x, est une primitive de la fonctionlogarithmenépériensur]0; +∞[. 3 3Z Z2 2e e 22. OnposeI = lnxdx etI = (lnx) dx.1 2 1 1 e e a. CalculerI .1 5 3 5 2b. Enutilisantuneintégrationparparties,montrerqueI = e − .2 4 e 3Z 2e c. Calculer f(x)dx. En déduire l’aire, en unités d’aire, de l’ensemble 1 e 1 3 2despoints M(x ; y)duplantelsque 6x6e et f(x)6y60. e Antilles-Guyane 5 septembre2001[BaccalauréatSFranceseptembre2001\ Exercice1 6points Communàtouslescandidats On dispose de deux urnes a et b contenant des boules blanches ou rouges indis- cernables au toucher. L’épreuve consiste à choisir une urne parmi les urnes a et b proposées (le choix de l’urne est effectué au hasard, les deux choix étant équipro- bables)puisàeffectuerletiraged’unebouledansl’urnechoisie. OnnoteAl’évènement «l’urnea estchoisie»,Bl’évènement «l’urneb estchoisie» etRl’évènement «uneboulerougeestobtenueautirage». Onnotep R laprobabilitéconditionnelledel’évènementRparrapportàl’évène-( )A mentA. 1. Danscettequestion,l’urnea contientuneboulerougeetquatreboulesblanches, l’urneb contientquatreboulesrougesetdeuxboulesblanches. a. Déterminerlesprobabilitéssuivantes:p(A), p (R), p(A∩R).A b. Montrerque 13 p(R)= 30 c. Sachant que la boule obtenue est rouge, quelle est la probabilité que l’urnechoisiesoitl’urnea? 2. Danscettequestion,onsupposequel’urneacontientquatreboulesblanches et l’urne b deux boules blanches. L’urne a contient en outre n boules rouges (oùndésigneunentiernaturelinférieurouégalà5),l’urnebencontient5−n. a. Exprimerp (R)etp (R)enfonctionden.A B b. Démontrerque 2−n +4n+10 p(R)= . (4+n)(7−n) c. Onsaitquenneprendquesixvaleursentières.Déterminerlarépartition possible des cinq boules rouges entre les urnes a et b donnant la plus grandevaleurpossibledep R .( ) Exercice2 5points Candidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialité³ ´→− →− Leplancomplexeestmunid’unrepèreorthonormal O, u , v direct. SoitAlepointd’affixeietBlepointd’affixe−i. Soit f lafonctiondéfiniesurC−{i}par: 1−iz f(z)= . z−i 1. Vérifierquepourtoutz deC−{i} 2 f (z)=−i+ . z−i 2. a. Démontrerque-in’apasd’antécédentpar f. b. Déterminerlesantécédentsde0etdeipar f.BaccalauréatS année2002 ′ ′3. À tout point M différent de A, d’affixe z, on associe le point M d’affixe z tel ′quez = f(z). a. Démontrer que pour tout point M différent de A, le produit des lon- ′ ′gueursAM etBM estégalà2 (AM¢BM =2). ′b. DémontrerquelorsqueM décritlecercleC decentreAetderayon4,M ′sedéplacesuruncercleC dontonpréciseralecentreetlerayon. 4. a. Déterminer l’ensemble E des points M(z) tels que z−i soit un nombre réelnonnul. ′b. Démontrer que lorsque M décrit E, M se déplace sur une droiteΔ que l’onprécisera. ′c. LorsqueM décritE,M décrit-iltouteladroiteΔ? 5. Déterminer l’ensemble des points M(z) tels que f(z) soit un imaginaire pur nonnul. Exercice2 5points Candidatsayantchoisil’enseignementdespécialité 1. a. DéterminerlePGCDdesnombres168et20. b. Soitl’équation 168x+20y =6dontlesinconnues x et y sontdesentiers relatifs.Cetteéquationat-elledessolutions? c. Soitl’équation 168x+20y =4dontlesinconnues x et y sontdesentiers relatifs.Cetteéquationat-elledessolutions? 2. a. Déterminer, en utilisant l’algorithme d’Euclide, et en détaillant les cal- culseffectués,deuxentiersrelatifsm etp telsque42m+5p=1. b. Endéduiredeuxentiersrelatifsu etv telsque42u+5v=2. c. Démontrer que lecouple d’entiers relatifs (x ; y) est solution del’équa- tion42x+5y=2si,etseulementsi42(x+4)=5(34−y). d. Déterminer tous les couples d’entiers (x ; y) d’entiers relatifs solutions del’équation42x+5y=2. 3. Déduiredu2.lescouples(x ; y)d’entiersrelatifssolutionsdel’équation (42x+5y−3)(42x+5y+3)=−5. Problème 9points LespartiesA,BetCpeuventêtretraitéesindépendammentlesunesdesautres.³ ´→− →− Le plan est muni d’un repère orthonormalR= O, ı ,  . L’unité graphique est 1 cm. PartieA Soit f lafonctiondéfiniesurRpar ¡ ¢ 2 xf (x)= x −3x+1 e . SoitC lacourbereprésentativede f danslerepèreR. 1. Déterminerleslimitesde f auxbornesdesonensemblededéfinition. 2. a. Étudierlesensdevariationde f etdonnerletableaudevariationde f. b. TracerC. 3. Soit Z0 I= f(x)dx. −3 a. InterprétergraphiquementI. France 7 septembre2001BaccalauréatS année2002 b. Enutilisantl’intégrationparparties,calculer Z0 x xe dx, −3 puis Z0 2 xx e dx. −3 c. EndéduirelavaleurexactedeI. PartieB 1. Soita etb deuxnombresréelsetg lafonctiondéfiniesurRpar 2x +ax+b( )g x =e .( ) Quellessontlesvaleursdeaetdeb pourlesquellesletableaudevariationsde g estceluidonnéci-dessous? 3x −∞ +∞2′g (x) − 0 + +∞ +∞ g(x) ց ր 5−4e 2. Soith lafonctiondéfiniesurRpar 2x −3x+1( )h(x)=e etΓsacourbereprésentativedanslerepèreR. 3 a. DémontrerqueladroiteDd’équation x= estaxedesymétriedeΓ. 2 −1b. Justifierl’affirmationsuivante:«3,2estunevaleurapprochéeà10 près d’unesolutiondel’équationh(x)=5». c. Soitα un nombre dont 1,7 est une valeur approchée à 0,5 près. Établir que 0,286h(α)60,47. PartieC SoituunefonctiondérivablesurRdontletableaudevariationestdonnéci-dessous (a, b etc étanttroisnombresréels). x −∞ 0 a b +∞ +∞ +∞ 0 u(x) c Soitv , v , v lesfonctionsdéfiniespar:1 2 3 ¡ ¢ u(x) x xv (x)=e v (x)=u e v (x)=u(x)e .1 2 3 France 8 septembre2001BaccalauréatS année2002 1. Déterminer le sens de variation des fonctions v et v (en justifiant votre ré-1 2 ponse). 2. Indiquerunintervallesurlequelilestpossiblededonnerlesensdevariation delafonctionv (enjustifiantvotreréponse).3 France 9 septembre2001[BaccalauréatSPolynésieseptembre2001\ Exercice1 5points Communàtouslescandidats Pourtoutnatureln>1onpose: Z11 tn 2I = (1−t) e dt.n n+12 n! 0 1. Àl’aided’uneintégrationparparties,calculerI .1 2. Démontrerquepourtoutnatureln>1ona: 1 I =I − .n+1 n n+12 (n+1)! 3. Endéduireparrécurrencequepourtoutnatureln>1ona: p 1 1 1 1 e=1+ ¢ +¢¢¢+ ¢ +I .nn2 1! 2 n! 4. Montrerquel’onpeuttrouveruneconstanteAtelleque: 1 06I 6 A.n n2 n! OnpourradéterminerAenmajorantlafonction: tn 2t7¡→(1−t) e surl’intervalle[0;1] Endéduirelalimitequandn tendversl’infinide: 1 1 1 1 u =1+ ¢ +¢¢¢+ ¢ .n n2 1! 2 n! Exercice2 4points Enseignementobligatoire ³ ´→− →− Dans le plan complexeP rapporté au repère orthonormal direct O, u , v