Baccalauréat ES Métropole septembre 2005

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat ES Métropole septembre 2005 \ EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats Une enquête menée pour le compte d'une entreprise a permis d'établir le nombre d'acheteurs d'un produit X selon le montant de son prix de vente. Les résultats de l'enquête sont résumés dans le tableau ci-dessous dans lequel : • xi désigne le prix de vente unitaire (en euros) du produit X ; • yi le nombre d'acheteurs en milliers. xi 1 1,50 2 3 4 yi 3,75 2,8 2 1 0,5 1. Représenter sur votre copie le nuage de points associé à la série (xi ; yi ) dans un repère orthogonal ( O, ??ı , ??? ) duplan (unités graphiques : 4 cmpour 1 euro en abscisse et 2 cm pour 1000 acheteurs en ordonnée). 2. On recherche un ajustement affine de la série (xi ; yi ). a. Donner l'équation de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Les calculs seront faits à la calculatrice et les valeurs cherchées seront ar- rondies au centième ; on ne demande aucune justification. b. Tracer cette droite dans le même repère que précédemment. c. Utiliser cet ajustement pour estimer le nombre d'acheteurs potentiels pour un produit vendu 2,50 euros.

• équation de la droite d'ajustement


• point moyen du nuage


• taux d'évolution des prix


• nuage de point


• ab- sence de réponse


• probabilité


• points commun

Sujets

• Probabilité

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2005
• Nombre de lectures: 26
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[BaccalauréatESMétropoleseptembre2005\
EXERCICE 1 3points
Communàtouslescandidats
Une enquête menée pour le compte d’une entreprise a permis d’établir le nombre
d’acheteurs d’un produit X selon le montant de son prix de vente. Les résultats de
l’enquêtesontrésumésdansletableauci-dessousdanslequel:
?x désigneleprixdeventeunitaire(eneuros)duproduitX;i
? y lenombred’acheteursenmilliers.i
x 1 1,50 2 3 4i
y 3,75 2,8 2 1 0,5i
¡ ¢
1. Représenter survotrecopielenuagedepointsassociéàlasérie x ; y dansi i³ ´!? !?
unrepèreorthogonal O, ı , | duplan(unitésgraphiques:4cmpour1euro
enabscisseet2cmpour1000acheteursenordonnée).
¡ ¢
2. Onrechercheunajustementaffinedelasérie x ; y .i i
a. Donner l’équation de la droite d’ajustement de y en x obtenue par la
méthodedesmoindrescarrés.
Les calculs seront faits à la calculatrice et les valeurs cherchées seront ar-
rondiesaucentième;onnedemandeaucunejustification.
b. Tracercettedroitedanslemêmerepèrequeprécédemment.
c. Utiliser cet ajustement pour estimer le nombre d’acheteurs potentiels
pourunproduitvendu2,50euros.
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Parmilesstandsdejeuxd’unefêtedevillage,lesorganisateursontinstalléunema-
chine qui lance automatiquement une bille d’acier lorsque le joueur actionne un
bouton.
Cette bille roule sur un plan comportant une cible circulaire évidée en son centre.
Lorsquelabilleatteintlacible,soitelleestavalée,soitellerestesurlacible.
Lorsquelabillen’atteintpaslacibleellerevientàsonpointdedépart.
Danslasuitedel’exercice,onnotera:
? Cl’évènement «lacibleestatteinte»;
? Bl’évènement «labilleestavalée».
Uneétudepréliminaireadémontréque:
– laprobabilitéd’atteindrelaciblelorsd’unlancerestégaleà0,3;
– lorsque la cible a été atteinte, la probabilitéque la bille soit avaléeest égale à
0,2.
1. Traduirelasituationaléatoireci-dessusparunarbredeprobabilité.
2. Onactionnelebouton.
a. CalculerlaprobabilitéP quelabillesoitavalée.1
b. CalculerlaprobabilitéP qu’ellerestesurlacible.2
Unepartiesedérouleselonlarègleci-dessous.
Pourjouer,onpaie0,50euroetonactionneleboutonquilancelabille:
? silabilleestavalée,ongagneunlotd’unevaleurdeg euros;
? silabillerestesurlaciblesansêtreavalée,onestremboursé;
? silabilleratelacible,onperdlamise.BaccalauréatES A.P.M.E.P.
3. Déterminer complètement la loi de probabilité de gain d’un joueur : on re-
copieraetoncomplétera letableauci-dessous;aucunejustificationn’estde-
mandée.
gain ?0,50 0 g?0,50
probabilité
4. a. Montrerquel’espérancedegaind’unjoueurenfonctiondeg est:
E?0,06g?0,38.
b. On prévoit qu’un grand nombre de parties seront jouées. Pour quelles
valeursdeg lesorganisateurspeuvent-ilsespérerunbénéfice?
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Mademoiselle Z travaille dans une société spécialisée dans la vente par téléphone.
Chaquejour,elledoitappelerunelistedeclientspourleurproposerunproduitpar-
ticulier.Aprèsavoirobservéungrandnombred’appelsdeMademoiselleZ,onpeut
fairel’hypothèsesuivante:
– si un client contacté répond favorablement (situation A), cela donne de l’as-
suranceàMademoiselle Zetellearriveàconvaincreleclientsuivantunefois
surdeux;
– sileclientcontacténerépondpasfavorablement(situationB),Mademoiselle
Zsedécourageetn’arriveàconvaincreleclientsuivantqu’unefoissurcinq.
1. a. Traduirelesdonnéesdel’énoncéparungrapheprobabilistedesommets
AetB.
b. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre al-
phabétiquedessommets.
2. Ce lundi, Mademoiselle Z est en forme et elle a convaincu le premier client
d’acheter le produit proposé. La matrice ligne décrivant l’état initial au pre-
mierappelestdoncP ?(1; 0).0
DonnerlamatriceligneP exprimantl’étatprobabilisteaudeuxièmeappel.1
µ ¶
0,28745 0,7125553. OndonnelamatriceM ?
0,28502 0,71498
5a. CalculerleproduitP M .EndéduirelaprobabilitéqueMademoiselleZ0
convainquesonsixièmeclientcelundi.
b. QuelleauraitétélaprobabilitéqueMademoiselleZconvainquesonsixième
clientsiellen’avaitpasconvainculepremier?
4. Déterminerl’étatstabledusystème.Commentpeut-onl’interpréter?
EXERCICE 3 8points
Communàtouslescandidats
PARTIEA
L’objet de cet exercice est l’étude de deux fonctions intervenant dans un modèle
économique.¡ ¢
La courbe C donnée en ANNEXE (à rendreavecla copie) est la représentationf
graphique, dans un repère orthogonal du plan, de la fonction f définie sur l’inter-
valle[0;5]par:
?0,7x?2,1
f(x)?e .
¡ ¢
De même, la courbe C est la représentation graphique de la fonction g définieg
surl’intervalle[0;5]par:
g(x)?0,5x?0,7.
Onadmetquelesfonctions f etg sontdérivablessurl’intervalle[0;5].
Métropole 2 septembre2005BaccalauréatES A.P.M.E.P.
1. Onappelle h lafonctiondéfinieparh(x)? f(x)?g(x).
0 0a. Calculer h (x)oùh désignelafonctiondérivéedelafonctionh surl’in-
tervalle[0;5].
0b. Étudier le signe de h (x) pour x appartenant à l’intervalle [0; 5]. En dé-
duirequelafonctionh eststrictementmonotonesurcetintervalle.
c. Justifierquel’équationh(x)?0admetunesolutionunique?surl’inter-
valle[0;5]etdonneràl’aided’unecalculatriceunevaleurapprochéede
?3?à 10 près (onnedemandepas dejustification sur la méthode d’ob-
tentiondecettevaleur).
?2d. Déduiredel’étudeprécédentelesvaleursarrondiesà10 descoordon-¡ ¢ ¡ ¢
néesdupointd’intersectionFde C et C .f g
2. Danslasuiteduproblème,onprendra??2,17et f(?)?g(?)?1,79.
a. Soient les points C(0 ; f(?)) et E(? ; 0). Donner une valeur arrondie à
?210 del’airedurectangleOCFEexpriméeenunitésd’aire.
Z?
b. Interprétergraphiquementlenombre f(x)dx.
0
Z?
c. Calculer f(x)dx en fonction de ? et en donner la valeur arrondie à
0
?210 .
PARTIEB
Lafonction f définiedanslaPARTIEAreprésentelafonctiondedemanded’unpro-
duit;ellemetencorrespondanceleprix f(x)expriméenmilliersd’eurosetlaquan-
tité x,expriméeentonnes,quesontprêtsàacheterlesconsommateursàceprix.
Lafonctiong définiedanslaPARTIEAestlafonctiond’offredeceproduit;ellemet
encorrespondanceleprixg(x)expriméenmilliersd’eurosetlaquantitéx,exprimée
entonnes,quesontprêtsàvendreàceprixlesproducteurs.
Onappelleprixd’équilibredumarchéleprixpourlequellaquantitédemandéepar
les consommateurs est égale à celle offerte par les producteurs. On note p le prix0
d’équilibreet q laquantitééchangéesurlemarchéàceprix.Danslasituationétu-0 ¡ ¢ ¡ ¢
diéeonadonc: f q ?g q .0 0
1. DéduiredesrésultatsdonnésdanslaPARTIEAlesvaleursdeq etdep .0 0
2. Touslesconsommateursquiétaientprêtsàpayerpluscher(au-dessusduprix
p ) réalisent une économie. Le montant économisé par les consommateurs,0 Zq0
appelésurplusdesconsommateurs,vautpardéfinition f(x)dx?p ?q .0 0
0
Ils’exprimeicienmilliersd’euros.
a. SurlegraphiquedelafeuilleANNEXE(àrendreaveclacopie):
– indiquerlesvaleurs q et p surlesaxesdecoordonnées;0 0
– hachurerledomainedontl’aires’écrit:
Zq0
f(x)dx?p ?q .0 0
0
b. Calculer,enmilliersd’euros,lesurplusdesconsommateurs.
Métropole 3 septembre2005BaccalauréatES A.P.M.E.P.
EXERCICE 4 4points
Communàtouslescandidats
Àrendreaveclacopie
Pourchacunedesquestions ci-dessous,uneseuleréponseestexacte.Ondemande
decochercetteréponse.
Unebonneréponserapporte0,5point.Unemauvaiseréponseenlève0,25point.L’ab-
sencederéponsenerapportenin’enlveaucunpoint.
Siletotaldespointsestnégatiflanoteglobaleattribuéeàl’exerciceest 0.
QUESTIONS RÉPONSES
1.Lacourbereprésentativedelafonctionlogarithme y?x?1
népérienadmetpourtangenteaupointd’abscisse1,la y?x?1
droited’équation: y?x?e
2.Lareprésentationgraphiquedelafonction ladroited’équation y?x
exponentielleadmetpourasymptote: l’axedesabscisses
l’axedesordonnées
1 1 2?2x ?2x3.Lafonction f définiepar f(x)? e ?ln(2x?4)est g(x)? e ?
4 2 x?2
1 1
?2xuneprimitivesurl’intervalle]?2;?1[delafonctiong g(x)?? e ?
2 x?2
1 1?2xdéfiniesurl’intervalle]?2;?1[par: g(x)?? e ?
2 2x?4Z1
34.L’intégrale x dx estégaleà: ?0,5
?1
0
0,5
5.Lalimiteen?1delafonction f définiesur 1
¸ · 31 ?2x ?3x?1
l’intervalle ;?1 par f(x)? ?1
32 (2x?1)
1
estégaleà: ?
4