Baccalauréat S

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S 2004\ L'intégrale de septembre 2003 à juin 2004 Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus Antilles-Guyane septembre 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Métropole septembre 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Polynésie spécialité septembre 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Amérique du Sud novembre 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Nouvelle-Calédonie novembre 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Nouvelle-Calédoniemars 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Pondichéry avril 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 Amérique du Nord juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• solution de l'équation


• espérance mathé- matique


• égale au coût de l'activité de substitution


• probabilité


• loi de la variable aléatoire


• unique point


• entier relatif


• départ de la promenade

Sujets

• Probabilité
• Entier relatif

Informations

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• Nombre de lectures: 46
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatS2004\
L’intégraledeseptembre2003
àjuin2004
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
Antilles-Guyaneseptembre2003 ........................3
Métropoleseptembre2003 ..............................7
Polynésiespécialitéseptembre2003 ...................11
AmériqueduSudnovembre2003 ......................13
Nouvelle-Calédonienovembre2003 ................... 19
Nouvelle-Calédoniemars2004 .........................22
Pondichéryavril2003 ...................................25
AmériqueduNordjuin2004 ........................... 30
Antilles-Guyanejuin2004 ..............................34
Asiejuin2004 ...........................................38
Centresétrangersjuin2004 .............................41
Métropolejuin2004 ....................................44
Libanjuin2004 .........................................48
Polynésiejuin2004 .....................................51
LaRéunionjuin2004 ....................................56année2004
2[BaccalauréatSAntilles–Guyaneseptembre2003\
EXERCICE 1 5points
Une association organise des promenades en montagne. Douze guides emmènent
chacun, pour la journée, un groupe de personnes dès le lever du Soleil. L’été il y
a plus de demandes que de guides et chaque groupe doit s’inscrire la veille de la
promenade.
Mais l’expérience des dernières années prouve que la probabilité que chacun des
1
groupes inscrits ne se présente pas au départ de la promenade est égale à . On
8
admettraquelesgroupesinscritsseprésententindépendammentlesunsdesautres.
eLesprobabilitésdemandéesserontarrondiesau 100 leplusproche.
1. a. Montrerquelaprobabilitéqu’unjourdonnéles12groupesinscritssoient
tousprésentsestcompriseentre0,20et0,21.
b. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jours où les
12groupesinscritssesonttousprésentésaudépartlorsd’unmoisde30
jours. Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les para-
mètres.
Donner la signification desévènements X ?30 puis X ?0 et calculer la
probabilitédecesévènements.
Préciserl’espérancemathématiqueE(X)
Quellesignificationpeut-ondonneràcerésultat?
c. Unesommede1Crédit(lamonnaielocale)estdemandéeàchaquegroupe
pourlajournée.Cettesommeestrégléeaudépartdelapromenade.
Danslecasoù un groupenese présente pas audépart,l’association ne
gagneévidemmentpasleCréditquecegroupeauraitversépourlajour-
née.
On nomme S la variable aléatoire égale à la somme, en Crédits, perçue
parl’associationunjourdonné.
Calculerlaprobabilitédel’évènement [S?11].
Préciserl’espérancemathématiquedeS.
2. a. Agacéparle nombredeguidesinemployés, ledirigeantdel’association
décidedeprendrechaquejouruneréservationsupplémentaire.évidem-
ement si les 13 groupes inscrits se présentent, le 13 groupe sera dirigé
vers une activité de substitution. Toutefois, cette activité de remplace-
mententraîneunedépensede2Créditsàl’association.
Quelle est a probabilité P qu’un jour donné il n’y ait pas de désiste-13
ment, c’est-à-dire que les 13 groupes inscrits la veille se présentent au
départdelapromenade?
b. SoitR lavariablealéatoireégaleaucoûtdel’activitédesubstitution.
PréciserlaloidelavariablealéatoireR etcalculersonespérancemathé-
matique.
c. Montrerquelegainmoyenobtenupourchaquejourest:
? ? ! !? ? ? ?13 k 13?kX k 7 1
k? ?2P .13
13 8 8k?0
Calculercegain.
d. Ladécisiondudirigeantest-ellerentablepourl’association?BaccalauréatS année2004
EXERCICE 2 4points
Enseignementobligatoire
SoientA,Bdeuxpoints distinctsfixésd’uncercleC decentreIet M unpointquel-
conquedececercleC.
?! ?! ?! ?!
1. LepointD estdéfiniparIA ?IB ?IM ?ID .
??! ??! ??! ??!
a. ProuverquelesproduitsscalairesAD ?BM etBD ?AM sontnuls.
EndéduireàquellesdroitesparticulièresdutriangleABM lepointD ap-
partientpuispréciserlanaturedupointD pourletriangleAMB.
?!
b. Soit G l’isobarycentre des points A, B, M. Exprimer ID en fonction de
?!
IG .
? ?!? !?
2. Dans le plan complexe, rapporté à un repère otthonormal direct O, ı , | ,
ondonnelespointsA,B,Id’affixesrespectives z ?2, z ?4?2iet z ?4.OnA B I
nomme f l’application qui,àtoutpoint M dupland’affixez,associelepoint
1 20M d’affixeZ telque Z ? z?2? i.
3 3
a. Montrer qu’il existe un unique point?tel que f(?)?? etcalculer l’af-
fixe!decepoint.
Pourtoutpointd’affixez,exprimeralorsZ?!enfonctiondez?!.
Préciserlanaturedel’application f.
b. M étantunpointquelconque d’affixez ,montrerquel’imageparl’ap-M
plication f du point M est l’isobarycentreG d’affixe z des points A, B,G
M.
c. Déterminer l’ensemble des points G lorsque le point M décrit le cercle
C decentreIetderayon2.
d. Endéduirealors,àl’aidedurésultatdelaquestion1b,l’ensembledécrit
?! ?! ?! ?!
parlepointD définiparID ?IA ?IB ?IM lorsquelepoint M parcourt
lecercleC decentreIetderayon2.
EXERCICE 2 4points
Enseignementdespécialité
Soitl’équation(1)d’inconnuerationnelle x :
3 278x ?ux ?vx?14?0.
oùu etv sontdesentiersrelatifs.
14
1. Onsupposedanscettequestionque estsolutiondel’équation(1).
39
a. Prouverquelesentiersrelatifsu etv sontliésparlarelation
14u?39v?1129.
b. Utiliserl’algorithmed’Euclide,endétaillantlesdiversesétapesducalcul,
pourtrouveruncouple(x ; y)d’entiersrelatifsvérifiantl’équation
14x?39y?1.
Vérifierquelecouple(?25; 9)estsolutiondecetteéquation.
c. En déduireun couple (u ; v ) solution particulière del’équation 14u?0 0
39v?1129.
Donner la solution générale de cette équation c’est-à-dire l’ensemble
descouples(u ; v)d’entiersrelatifsquilavérifient.
d. Déterminer, parmi les couples (u ; v) précédents, celui pour lequel le
nombreu estl’entiernaturellepluspetitpossible.
Antilles-Guyane 4 septembre2003BaccalauréatS année2004
2. a. Décomposer78et14enfacteurspremiers.
Endéduire,dansN,l’ensemble desdiviseursde78etl’ensemble desdi-
viseursde14.
P
b. Soit unesolutionrationnelledel’équation(1)d’inconnue x :
Q
3 278x ?ux ?vx?14?0 où u et v sontdesentiersrelatifs.
MontrerquesiP etQ sontdesentiersrelatifspremiersentreeux,alorsP
divise14etQ divise78.
c. Endéduirelenombrederationnels, nonentiers, pouvantêtresolutions
de l’équation (1) et écrire, parmi ces rationnels, l’ensemble de ceux qui
sontpositifs.
PROBLÈME 10points
xPartieA-étudepréliminaired’unefonction f définiesurRparϕ(x)?(2?x)e ?1
1. Déterminerleslimitesdelafonction'en?1et?1.
2. Montrerquelafonction'estcontinueetdérivablesurRetétudierlesignede
sadérivée.
Endéduirelesvariationsdelafonction'etpréciserlesvaleursde'(?2),
'(0), '(1)et'(2).
3. Prouverquelafonction's’annuleuniquementendeuxvaleursquel’onnom-
mera?et?.Onprendra???.étudieralorslesignedelafonction'surl’en-
sembledesréelsetrécapitulercetteétudedansuntableau.
?24. À l’aide de la calculatrice, fournir un encadrement d’amplitude 10 des va-
leurs?et?.
1?5. Montrerquee ? .
2??
xe ?1
PartieB-étuded’unefonction f définiepar f(x)? etcalculintégral
xe ?x
x1. Montrerquee ?x nes’annulepassurR.Endéduireque f estdéfiniesurR.
2. Déterminerleslimitesdelafonction f en?1et?1.
03. Calculerladérivée f delafonction f puis,àl’aidedesrésultatsdelapartieA,
construireletableaudesvariationsde f.
1
4. Montrer que f(?)? , le nombre? étant la plus petite des deux valeurs
??1
pourlesquelleslafonction'delapartieAs’annule.
5. Déterminer une primitive de la fonction f surR. Donner une valeur exacte
puisunevaleurdécimaleapprochéeà0,01prèsdel’intégrale:
Z x1 e ?1
dx.
xe ?x0
PartieC-étudededeuxsuites
1. Préciserl’ensemblededéfinitionD delafonctiong définiesurcetensembleg? ?
1
parg(x)?ln oùlndésignelafonctionlogarithmenépérien.
2?x
Prouverquelafonctiong estcroissantesursonensemblededéfinitionetque
l’imageparg del’intervalleI=[?2; 0]estinclusedanscetintervalle.
Antilles-Guyane 5 septembre2003BaccalauréatS année2004
2. a. Soitlasuite(u )définiepourtoutentiernatureln par:n
?
u ? ?20
u ? g(u )n?1 n
Montrer que u appartient à l’intervalle I = [?2 ; 0]. Prouver par récur-1
rence,àl’aidedesvariationsdelafonctiong,quelasuite(u )atoussesn
termesdansl’intervalleIetestcroissante.
b. Onconsidèrelasuite(v )définiepourtoutentiernatureln par:n
?
v ? 00
v ? g(v )n?1 n
Calculerletermev etmontrerque?26u 6v 6v 60.1 1 1 0
Établir parrécurrence,àl’aide delacroissancedelafonction g sur l’