Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2007

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2007 \ EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats 1. Dans cette question, on demande au candidat d'exposer des connaissances. On suppose connu le résultat suivant : La fonction x 7? ex est l'unique fonction ? dérivable sur R telle que ?? =?, et ?(0)= 1. Soit a un réel donné. a. Montrer que la fonction f définie sur R par f (x) = eax est solution de l'équation y ? = ay . b. Soit g une solution de l'équation y ? = ay . Soit h la fonction définie sur R par h(x)= g (x)e?ax . Montrer que h est une fonction constante. c. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation y ? = ay . 2. On considère l'équation différentielle (E) : y ? = 2y +cosx. a. Déterminer deux nombres réels a et b tels que la fonction f0 définie sur R par : f0(x)= a cosx+b sinx soit une solution f0 de (E). b. Résoudre l'équation différentielle (E0) : y ? = 2y . c. Démontrer que f est solution de (E) si et seulement si f ? f0 est solution de (E0).

• représentation paramétrique


• vecteur directeur


• solution de l'équation


• unique solution


• distance hh?


• affixe


• points commun


• repère orthonormal direct

Sujets

• Vecteur directeur
• Affixe

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2007
• Nombre de lectures: 29
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat S Amérique du Sud novembre 2007\

E X E R C IC E points1 4 Commun à tous les candidats 1.Dans cette question, on demande au candidat d’exposer des connaissances. On suppose connu le résultat suivant : x′ La fonctionx7→e estl’unique fonctionϕdérivable surRtelle queϕ=ϕ, et ϕ(0)=1. Soitaun réel donné. ax a.Montrer que la fonctionfdéfinie surRparf(x)=e estsolution de ′ l’équationy=a y. ′ b.Soitgune solution de l’équationy=a y. Soithla fonction définie surR −ax parh(x)=g(xMontrer que)e .hest une fonction constante. ′ c.En déduire l’ensemble des solutions de l’équationy=a y. ′ 2.On considère l’équation différentielle (E) :y=2y+cosx. a.Déterminer deux nombres réelsaetbtels que la fonctionf 0 définie sur Rpar : f 0 (x)=acosx+bsinx soit une solutionf 0 de (E). ′ b.Résoudre l’équation différentielle (E 0 ) :y=2y. c.Démontrer quefest solution de (E) si et seulement sif−f 0 est solution de (E 0 ). d.En déduire les solutions de (E). ³ ´ π e.Déterminer la solutionkde (E) vérifiantk=0. 2

E X E R C IC E points2 5 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le planPO,est rapporté à un repère orthonormal directu,v. On fera une figure que l’on complétera avec les différents éléments intervenant dans l’exercice. 1.On considère les points A d’affixe 1 et B d’affixe i. On appelleSla réflexion (symétrie axiale) d’axe (AB). ′ Montrer que l’imageMparSd’un pointMd’affixeza pour affixe ′ z= −iz+1+i. 2.On noteHl’homothétie de centre A et de rapport−2. Donner l’écriture com plexe deH. 3.On notefla composéeH◦S. a.Montrer quefest une similitude. b.Déterminer l’écriture complexe def. ′′ 4.On appelleMl’image d’un pointMparf. −−−→ −−→ ′′ a.Démontrer que l’ensemble des pointsMdu plan tels que AM= −2AM est la droite (AB).

A. P. M. E. P.

Baccalauréat S

−−−→ −−→ ′′ b.Démontrer que l’ensemble des pointsMdu plan tels que AM=2AM est la perpendiculaire en A à la droite (AB).

E X E R C IC E 2 5points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le planPest rapporté à un repère orthonormal directO,u,v. On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure. ′ Soitfl’application qui à tout pointMde P d’affixe non nullezassocie le pointM d’affixe : µ ¶ 1 1 ′ z=z+. 2z ′ 1.Soit E le point d’affixez E = −i. Déterminer l’affixe du point E , image de E par f ′ 2.Déterminer l’ensemble des pointsMtels queM=M. 3.On note A et B les points d’affixes respectives 1 et−1. SoitMun point distinct des points O, A et B. a.Montrer que, pour tout nombre complexezdifférent de 0, 1 et−1, on a : µ ¶ ′ 2 z+1z+1 =. ′ z−1z−1

′ MBMB b.puis une expresEn déduire une expression deen fonction de ′ MAMA ³ ´³ ´ −−→−−→ −−→ −−→ ′ ′ sion de l’angleMA ,Mfonction de l’angleB enMA ,MB 4.SoitΔla médiatrice du segment [A, B]. Montrer que siMest un point deΔ ′ distinct du point O, alorsMest un point deΔ. 5.SoitΓle cercle de diamètre [A, B]. ′ a.Montrer que si le pointMappartient àΓalors le pointMappartient à la droite (AB). b.Tout point de la droite (AB) atil un antécédent parf?

E X E R C IC E points3 5 Commun à tous les candidats ³ ´ −→−→ −→ L’espace est muni d’un repère orthonormalO,ı,,k. −→ 1.On considère le point A de coordonnées (−2 ; 8 ; 4) et le vecteurude coor données (1 ; 5 ;−1). Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d) passant par A et −→ de vecteur directeuru. 2.On considère les plans (P) et (Q) d’équations cartésiennes respectives x−y−z=7 etx−2z=11. Démontrer que les plans (P) et (Q) sont sécants. On donnera une représenta ′ tion paramétrique de leur droite d’intersection, notée (d). Montrer que le vecteur de coordonnées (2 ; 1 ; 1) est un vecteurdirecteur de ′ (d). ′ 3.Démontrer que les droites (d) et (d) ne sont pas coplanaires. ′ 4.On considère le point H de coordonnées (−3 ; 3 ; 5) et le point Hde coordon nées (3 ; 0 ;−4). ′ ′ a.Vérifier que H appartient à (d) et que Happartient à (d).

Amérique du Sud

2

novembre 2007

A. P. M. E. P.

Baccalauréat S

′ ′ b.Démontrer que la droite (HH) est perpendiculaire aux droites (d) et (d). ′ c.Calculer la distance entre les droites (d) et (d), c’estàdire la distance ′ HH . −−−→−−→ ′ ′ 5.Déterminer l’ensemble des pointsMde l’espace tels queMH∙HH=126.

E X E R C IC E 4 Commun à tous les candidats

1.On considère la fonctionf 1 définie sur [0 ;+∞[ par ¡ ¢ 2 f 1 (x)=2x−2+lnx+1 .

6 points

a.Déterminer la limite def 1 en+∞. b.Déterminer la dérivée def 1 . c.Dresser le tableau de variations def 1 . 2.Soitnun entier naturel non nul. On considère la fonctionf n , définie sur [0 ;+∞[ par ¡ ¢ 2 lnx+1 f n (x)=2x−2+. n a.Déterminer la limite def n en+∞. b.Démontrer que la fonctionf n est strictement croissante sur [0 ;+∞[. c.Démontrer que l’équationf n (x)=0 admet une unique solutionα n sur [0 ;+∞[ d.Justifier que, pour tout entier natureln, 0<α n <1. 3.Montrer que pour tout entier naturel non nuln,f n ( α n+1 ) >0. 4.Étude de la suite (α n ) a.Montrer que la suite (α n ) est croissante. b.En déduire qu’elle est convergente. ¡ ¢ 2 lnα+1 n c.Utiliser l’expressionα n =1−pour déterminer la limite de 2n cette suite.

Amérique du Sud

3

novembre 2007