Baccalauréat S Antilles Guyane septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2000 \ EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats 1. Pour tout nombre complexe z, on considère f (z)= z4?10z3+38z2?90z +261. a. Soit b unnombre réel. Exprimer en fonction de b les parties réelle et ima- ginaire de f (ib). En déduire que l'équation f (z)= 0 admet deux nombres imaginaires purs comme solution. b. Montrer qu'il existe deux nombres réels? et?, que l'on déterminera, tels que, pour tout nombre complexe z, f (z)= ( z2+9 ) ( z2+?z +? ) . c. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation f (z)= 0. 2. Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal. a. Placer dans le plan P les points A, B, C et D ayant respectivement pour affixes : a = 3i, b =?3i, c = 5+2i et d = 5?2i. b. Déterminer l'affixe de l'isobarycentre G des points A, B, C, D. c. Déterminer l'ensemble E des points M de P tels que : ????MA +???MB +???MC +????MD ? = 10. Tracer E sur la figure précédente.

• repère orthonormal


• courbe représentative dans le plan rapporté


• arêtes de la pyramide abcds


• cm sur l'axe des ordonnées


• points enseignement obligatoire

Sujets

• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2000
• Nombre de lectures: 79
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSAntilles-Guyaneseptembre2000\
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
1. Pourtoutnombrecomplexe z,onconsidère
4 3 2f(z)=z −10z +38z −90z+261.
a. Soitbunnombreréel.Exprimerenfonctiondeb lespartiesréelleetima-
ginairede f(ib).Endéduirequel’équation f(z)=0admetdeuxnombres
imaginairespurscommesolution.
b. Montrerqu’ilexistedeuxnombresréelsαetβ,quel’ondéterminera,tels
que,pourtoutnombrecomplexe z,
? ?? ?2 2f(z)= z +9 z +αz+β .
c. Résoudredansl’ensembledesnombrescomplexesl’équation f(z)=0.
2. LeplancomplexeP estrapportéàunrepèreorthonormal.
a. Placerdans leplanP les points A,B,C etD ayantrespectivement pour
affixes:a=3i, b=−3i, c=5+2ietd=5−2i.
b. Déterminerl’affixedel’isobarycentreGdespointsA,B,C,D.
c. Déterminerl’ensembleEdespoints M deP telsque:
−−→ −−→ −−→ −−→
kMA +MB +MC +MDk=10.
TracerEsurlafigureprécédente.
EXERCICE 2 4points
Enseignementobligatoire
1. Une fourmise déplacesur les arêtesdela pyramide ABCDS.Depuisunsom-
metquelconque,ellesedirigeauhasard(onsupposequ’ilyaéquiprobabilité)
versunsommetvoisin;onditqu’elle«faitunpas».
a.LafourmisetrouveenA.
S
Aprèsavoirfaitdeuxpas,quelleestla
probabilitéqu’ellesoit:
• enA?
• enB?
• enC?
• enD?
b. Pour tout nombre entier naturel n
Dstrictementpositif,onnote: C
S l’évènement « la fourmi est aun
sommet S après n pas»,et p la pro-n
Ababilitédecetévènement.
BDonnerp .1
EnremarquantqueS = S ∩S ,montrerquen+1 n+1 n
? ?1
p = 1−p .n+1 n
3
2.On considèrela suite (p ),définie pour tout nombreentier n strictement positifn
1 p =1
3par: .? ?1 p = 1−pn+1 n
3BaccalauréatS A.P.M.E.P.
a. Montrer par récurrence que, pout tout entier naturel n strictement positif,? ? ? ?n1 1
onap = 1− − .n
4 3
b.Déterminer lim p .n
n→+∞
PROBLÈME 12points
Enseignementobligatoireetdespécialité
L’objetdeceproblèmeestd’étudier,àl’aided’unefonctionauxiliaire,unefonction
etderésoudreuneéquationdifférentielledontelleestsolution.
A.Étuded’unefonctionauxiliaire
Soitg lafonctiondéfiniesurRpar
x ? ?e xg(x)= −ln 1+2e .
x1+2e
′1. Calculer g (x) et montrer que ce nombre est strictement négatif pour tout x
deR.
2. Déterminerleslimitesdeg en- ∞et+∞.
3. Dresserletableaudevariationdeg.
4. Donnerlesignedeg(x).
B.Étuded’unefonctionetcalculd’uneaire
Soit f lafonctiondéfiniesurRpar
? ?−2x x
f(x)=e ln 1+2e .
On noteC sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal
(unitésgraphiques:4cmsurl’axedesabscisseset1cmsurl’axedesordonnées).
′ ′ −2x1. Calculer f (x)etmontrerquepourtoutréelx, f (x)=2e g(x).
2. a. Déterminerlalimitede f en−∞.
b. Déterminerlalimitede f en+∞.Onpourraremarquerque:
X lnXxsionpose X =1+2e , f(x)s’écrit4 .
2(X−1) X
3. Dresserletableaudevariationde f.
4. TracerC.
5. Soitαunréelstrictementpositif.
−x −xe e−xa. Vérifierque,pourtoutréelx, =e −2 .
x −x1+2e e +2Z −xα e
Endéduirelavaleurdel’intégrale I(α)= dx.
x1+2e0
b. Calculer,àl’aided’uneintégrationparparties,l’intégrale:
Zα
J(α)= f(x)dx.
0
Donneruneinterprétationgraphiquede J(α).
C.Résolutiond’uneéquationdifférentielle
Onconsidèrel’équationdifférentielle
−xe′(E) : y +2y=2 .
x1+2e
1. Vérifierquelafonction f étudiéedanslapartieB)estsolutionde(E).
Antilles-Guyane 2 septembre2000BaccalauréatS A.P.M.E.P.
2. Montrerqu’unefonctionϕestsolutionde(E)sietseulementsiϕ−f estsolu-
tiondel’équationdifférentielle
′ ′(E ) : y +2y=0.
′3. Résoudre(E )etendéduirelessolutionsde(E).
Antilles-Guyane 3 septembre2000