Baccalauréat S L'intégrale de septembre

Denis Vergès

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S 2000 \ L'intégrale de septembre 1999 à juin 2000 Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus Antilles-Guyane septembre 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Métropole septembre 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Sportifs de haut-niveau septembre 1999 . . . . . . . . . . . . . . . .11 Amérique du Sud novembre 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 Nouvelle-Calédonie décembre 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Pondichéry avril 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Amérique du Nord juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Antilles-Guyane juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . .

• courbe représentative dans le plan rapporté


• boule


• solution unique dans l'intervalle


• couple de points


• points enseignement obligatoire


• points commun


• repère orthonormal direct

Sujets

• Vergès

Informations

• Publié par: apmep
• Nombre de lectures: 79
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatS2000\
L’intégraledeseptembre1999à
juin2000
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
Antilles-Guyaneseptembre1999 .........................3
Métropoleseptembre1999 ...............................8
Sportifsdehaut-niveauseptembre1999 ................11
AmériqueduSudnovembre1999 .......................14
Nouvelle-Calédoniedécembre1999 ....................18
Pondichéryavril2000 ...................................21
AmériqueduNordjuin2000 ............................24
Antilles-Guyanejuin2000 ...............................28
Asiejuin2000 ........................................... 32
Centresétrangersjuin2000 .............................36
Métropolejuin2000 .....................................40
LaRéunionjuin2000 ....................................44
Libanjuin2000 ..........................................47
Polynésiejuin2000 .....................................50
Tapuscrit:DenisVergès:L’intégraleS2000 A.P.M.E.P.
2[BaccalauréatSAntilles-Guyaneseptembre1999\
EXERCICE 1 4,5points
Communàtouslescandidats
Danstout l’exerciceonconsidère20boulesindiscernablesautoucher (10noireset
10 blanches) et deux urnes A et B dans chacune desquelles on placera 10 boules
suivantunmodequiseraprécisédanschaquequestion.
1. On choisit dix boules au hasard et on les met dans l’urne A. On place les dix
autresboulesdansl’urneB.
a. Quelleestlaprobabilitépourquelesdeuxurnesnecontiennentchacune
quedesboulesdemêmecouleur?
b. Quelleestlaprobabilitépourquelesdeuxurnescontiennentchacune5
boulesblancheset5boulesnoires?
2. Soit x un entier tel que 06 x6 10. On place maintenant x boules blanches
et10?x boules noiresdansl’urne Aetles 10?x boules blanches et x boules
noiresrestantesdansl’urneB.Onprocèdeàl’expérienceE:
On tire au hasard une boule de A et on la met dans B, puis on tire au hasard
unebouledeBetonlametdansA.
OndésigneparMl’évènement«chacunedesdeuxurnesalamêmecomposi-
tionavantetaprèsl’expérience».
a. Pourcettequestiona.,onprendx?6.
Quelleestlaprobabilitédel’évènement M?
b. Montrerquelaprobabilitédel’évènementMestégaleà:
? ?1 2?x ?10x?5 .
55
c. Pour quelles valeurs de x l’évènement M est-il plus probable que l’évè-
nementcontraireM?
EXERCICE 2 5,5points
Enseignementobligatoire ? ?!? !?
Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect O, u , v .Pourtout
pointP,onconvientdenoterz sonaffixe.P
31. Onconsidèredansl’ensembledescomplexesl’équation(E): z ?8?0.
3 2a. Déterminerlesnombresréelsa, b, c telsquez ?8?(z?2)(az ?bz?c)
pourtoutcomplexez.
b. Résoudre l’équation (E) (on donnera les solutions sous la forme x?yi,
avecx et y réels).
i?c. Écrirecessolutionssouslaformere ,oùr estunréelpositif.
p p
2. On considère les points A, B, C d’affixes respectives - 2, 1 - i 3 et 1 + i 3, le
2?
pointDmilieude[OB]etlarotationRdecentreOetd’angle .
3
a. MontrerqueR(A)=B,R(B)=CetR(C)=A.EndéduirequeletriangleABC
estéquilatèral.
PlacerA,B,C,Ddansleplan.
?! ??!
b. OnconsidèrelepointLdéfiniparAL ?OD.Déterminersonaffixez .L
zL
Déterminerunargumentde .
zD
?! ??!
EndéduirequelevecteurOL estorthogonalauvecteurOD etauvecteur
?!
AL.
MontrerqueLestsurlecercledediamètre[AO].
PlacerLsurlafigure.L’intégraleS2000 A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 5,5points
Enseignementdespécialité ? ?!? !?
Leplanestmunid’unrepèreorthonormaldirect O, ı , | .
0OndonnelepointA(6;0)etlepointA (0;2).
0ÀtoutpointM del’axedesabscissesdifférentdeAonassocielepointM telque:
? ????!??! ?0 0 0 0AM?A M et AM , A M ? mod2?.
2
0Onadmetl’existenceetl’unicitédeM .
On réalisera une figure avec, pour unité graphique 0,5 cm et pour cette figure, on
prendra?4pourabscissedeM.
1. SoitM unpointdel’axedesabscissesdifférentdeA.
0a. PlacerlepointM surlafigure.
b. Pourcettequestiononpourradonnerunedémonstrationpurementgéomé-
triqueouutiliserlesnombrescomplexes.
Démontrerqu’ilexiste uneuniquerotation,dontonprécisera lecentre,
0 0notéIetl’angle,quitransformeAenA etM enM .
PlacerIsurlafigure.
0c. Démontrerquelamédiatricede[MM ]passeparI.
02. On veut déterminer et construire les couples de points (M, M ) vérifiant la
0conditionsupplémentaire MM ?20.
0a. Calculer IM etdémontrer qu’il existe deuxcouples solutions :(M , M )1 1
0et(M , M ).2 2
b. Placercesquatrepointssurlafigure.
Antilles-Guyane 4 septembre1999L’intégraleS2000 A.P.M.E.P.
PROBLÈME 10points
Commun à tous les candidats Étude d’une fonction et résolution d’une équation
liéeàcettefonction.
Danstoutleproblème,onconsidèrelafonctionréelle f delavariableréellexdéfinie
sur]0; ?1[par: ? ?
1
f(x)?ln 1? .
x
OnnoteC sacourbereprésentativedansleplanrapportéàunrepèreorthonormal? ?!? !?
O, ı , | (unitégraphique:4cm).
PartieA
Étudedusensdevariationdelafonction f
01. a. Calculer f (x) et étudier son signe sur ]0 ; ?1[. En déduire le sens de
variationde f sur]0;?1[.
b. Déterminerleslimitesde f en+1eten0.
c. Dresserletableaudevariationsde f.
2. Montrer que, pour tout x élément de l’intervalle I = [0,7; 0,9], f(x) est aussi
0élémentdeIetquejf (x)j60,9.
PartieB
Onse propose danscette partiede montrer que l’équation f(x)?x a une solution
unique dansl’intervalle ]0 ; ?1[ etde donner une valeur approchée decette solu-
tionàl’aided’unesuite.
1. Onconsidèrelafonctiong définiesur]0; ?1[par:
? ?
1
g(x)?ln 1? ?x.
x
a. Déterminerleslimitesdeg en+1eten0.
b. Montrerqueg estunefonctionstrictementdécroissantesur]0; ?1[.
c. Montrerquel’équationg(x)?0admetunesolutionunique,quel’onno-
tera?,appartenantàl’intervalleI=[0,7;0,9].Montrerquecetteéquation
n’apasd’autresolutiondans]0;?1[.
d. Quepeut-onendéduirepourl’équation f(x)?x?Surlegraphiquejoint
en annexe, que l’on rendra avec la copie, figure la partie de la courbe
C dont les points ont une abscisse comprise entre 0,7 et 0,9 et le seg-
ment[AB],oùAetBsontlespointsdecoordonnéesrespectives(0,7;0,7)
et (0,9; 0,9). Que représente le point de coordonnées (? ; f(?)) pour la
courbeC et le segment [AB]? Placer ce point sur le graphique joint en
annexe.
2. Onconsidèrelasuiteréelle(a )définiepara ?0,7eta ? f(a )pourtoutn 0 n?1 n
entiernatureln.
a. Montrerque,pourtoutentiernatureln, a estélémentdeI.n
b. Construire sur le graphique joint en annexe les éléments de (a ) pourn
n?1, 2, 3, 4.Justifierquelasuiten’estpasmonotone.
c. Démontrer,enutilisantl’inégalitédesaccroissementsfinis,que
ja ??j60,9ja ??j pourtoutentiern.n?1 n
d. Démontrer,enutilisantunraisonnementparrécurrence,que
nja ??j6(0,9) ?0,2pourtoutentiern.n
Endéduirequelasuite(a )convergevers?.n
Antilles-Guyane 5 septembre1999L’intégraleS2000 A.P.M.E.P.
3. a. Montrer que si x ?? alors f(x)?? et que si x ?? alors f(x)??. On
admetque,pourtoutentiernaturelnpair,a ??etquepourtoutentiern
natureln impair,a ??.n
b. Letableaudevaleurssuivantaétéécritparunélèveayantrecopiélesré-
sultatsdonnésparunlogicielinformatiquepourlecalculdesvaleursap-
prochéesdestermesdelasuite(a ),enneretenantqueles5premièresn
décimales.Or,unevaleuraétéincorrectementrecopiée.
Quelle estla plus petite valeur del’entiern pour laquelle onestsûr que
lavaleurapprochéeécritedea estincorrecte?n
Pourquoi?Soitpcettevaleur.Calculeràlacalculatriceunevaleurappro-
chéedea etvérifierlavaleurapprochéedea écritdansletableau.p p?1
Peut-onaffirmeràl’aidedecetableauque0,80640???0,80651?
n? a n? an n
0 0,70000 12 0,80523
1 0,88730 13 0,80731
2 0,75471 14 0,80588
3 0,84371 15 0,80686
4 0,78172 16 0,80619
5 0,82383 17 0,80665
6 0,79472 18 0,80633
7 0,81461 19 0,80655
8 0,80091 20 0,80640
9 0,81029 21 0,80650
10 0,80884 22 0,80643
11 0,80826
Antilles-Guyane 6 septembre1999? ?
1
y?ln 1?
x
L’intégraleS2000 A.P.M.E.P.
Annexe1
Partie de la courbeC dont les points ont une abscisse comprise entre 0,69 et 0,91
etlesegment[AB],oùAetBsontlespointsdecoordonnéesrespectives(0,7;0,7)et
(0,9;0,9).
0,90 ?B
0,85
0,80
0,75
A
0,70 ?
0,70 0,75 0,80 0,85 0,90
Antilles-Guyane 7 septembre1999
y?x[BaccalauréatSMétropoleseptembre1999\
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
Danstoutl’exercice,ondonneralesrésultatssousformedefractionsirréductibles.
Une urne contient trois boules noires et une boule blanche. On considère l’expé-
riencesuivante:
On lance un jeton parfaitement équilibré, présentant une face noire et une face
blanche. Si le jeton tombe sur la face blanche, on ajoute une boule blanche dans
l’urne;silejetontombe