Baccalauréat S Pondichéry avril

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Pondichéry avril 2002 \ EXERCICE 1 4 points Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) ; unité gra- phique 2 cm. On désigne par A le point d'affixe zA = 1, et par (C ) le cercle de centre A et de rayon 1. Partie A Soit F le point d'affixe 2, B le point d'affixe zB = 1+ei π 3 et E le point d'affixe (1+ z2B). 1. a. Montrer que le point B appartient au cercle (C ). b. Déterminer unemesure en radians de l'angle de vecteurs (?? AF ; ??? AB ) . Pla- cer le point B. 2. a. Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes (zB? zA) et (zE? zA). b. En déduire que les points A , B et E sont alignés. 3. Placer le point E. Partie B Pour tout nombre complexe z tel que z 6= 1, on considère les points M et M ? d'affixes respectives z et z ? où z ? = 1+ z2. 1. Pour z 6= 0 et z 6= 1, donner, à l'aide des points A, M et M ?, une interprétation géométrique d'un argument du nombre complexe z ??1 z?1 .

• courbe c0


• boule dans l'urne


• point d'affixe


• fn


• courbe représentative de fn dans le repère


• repère orthonormal direct

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 avril 2002
• Nombre de lectures: 51
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S Pondichéry avril 2002\

E X E R C IC E 1 4points ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal directO,u,v; unité gra phique 2 cm. On désigne par A le point d’affixez A =1, et par (C) le cercle de centre A et de rayon 1.

Partie A π i 2 Soit F le point d’affixe 2, B le point d’affixez B =1+E le point d’affixe (1e et+z). 3 B 1. a.Montrer que le point B appartient au cercle (C). ³ ´ −→−→ b.Déterminer une mesure en radians de l’angle de vecteurs. PlaAF ; AB cer le point B. 2. a.Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes (z B −z A ) et (z E −z A ). b.En déduire que les points A , B et E sont alignés. 3.Placer le point E.

Partie B ′ Pour tout nombre complexeztel quez6=1, on considère les pointsMetMd’affixes ′ ′2 respectiveszetzoùz=1+z. ′ 1.Pourz6=0 etz6=1, donner, à l’aide des points A,MetM, une interprétation ′ z−1 géométrique d’un argument du nombre complexe. z−1 2 z ′ 2.En déduire que A,MetMest un réel.sont alignés si et seulement si z−1

E X E R C IC E points2 5 Candidats ayant suivi l’enseignement obligatoire Partie A Une urne contientnboules blanches (n∈Netn > 2), 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire simultanément et au hasard deux boules de l’urne . 1.Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches ? 2.On notep(n) la probabilité de tirer deux boules de même couleur. 2 n−n+26 a.Montrer quep(n)= (n+8)(n+7) b.Calculer limp(n). Interpréter ce résultat. n→+∞

Partie B Pour les questions suivantesn=4. 1.Calculerp(4). 2.Un tirage consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de l’urne. Un joueur effectue deux tirages indépendants, en remettant dans l’urne avant le second tirage les deux boules tirées la première fois. Il mise au départ la somme de 30 euros. Pour chaque tirage : – siles deux boules sont de même couleur, il reçoit alors 40 euros, – sielles sont de couleurs différentes, il reçoit alors 5 euros.

Baccalauréat S

On appelle gain du joueur la différence, à l’issue des deux tirages, entre la somme reçue par le joueur et sa mise initiale (ce gain peut être positif ou né gatif ). On désigne parXla variable aléatoire égale au gain du joueur.

a.Quelles sont les valeurs prises parX? b.Déterminer la loi de probabilité deX. c.Calculer l’espérance deX.

E X E R C IC E 2 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité 5 6 1.Calculer le P.G.C.D. de 4−1 et de 4−1.

Soitula suite numérique définie par : u 0 =0,u 1 =1 et, pour tout entier natureln,

u n+2 =5u n+1 −4u n .

5 points

2.Calculer les termesu 2 ,u 3 etu 4 de la suiteu. 3. a.Montrer que la suiteuvérifie, pour tout entier natureln,u n+1 =4u n +1. b.Montrer que, pour tout entier natureln,u n est un entier naturel. c.En déduire, pour tout entier natureln, le P.G.C.D. deu n etu n+1 . 1 4.Soitvla suite définie pour tout entier naturelnparv n =u n +. 3 a.Montrer quevest une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier termev 0 . b.Exprimerv n puisu n en fonction den. n+1n c.Déterminer, pour tout entier natureln, le P.G.C.D. de 4−1 et de 4−1.

P R O B L È M E 11 points La partieBpeut être traitée indépendamment de la partieA. ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormalO,ı,; unité graphique : 2 cm. Pour tout entier natureln, on considère la fonctionf n définie surRpar : x e f n (x)=. nx x e (1+e ) ³ ´ −→−→ On désigne parC \ la courbe représentative def n O,dans le repèreı,.

Partie A Dans cette partie, on s’intéresse seulement aux fonctionsf 0 etf 1 correspondant res pectivement àn=0 etn=1. x e On considère d’abord la fonctionf 0 définie surRparf 0 (x)=. x 1+e 1. a.Déterminer la limite def 0 (x) quandxtend vers−∞. b.Déterminer la limite def 0 (x) quandxtend vers+∞. c.En déduire les asymptotes deC 0 . µ ¶ 1 2.Montrer que le point K0 ;est un centre de symétrie deC 0 2 3.Étudier les variations def 0 .

Pondichéry

2

avril 2002

Baccalauréat S

4. a.Déterminer une équation de la tangente T à la courbeC 0 au point K. b.Justifier que, pour étudier la position de la tangente T par rapport à la courbeC 0 , il suffit d’étudier surRle signe deg(x), où x x g(x)=2e−xe−2−x. ′ ′′ c.Calculerg(x) etg(x). ′′ ′ d.Déterminer, en les justifiant, les signes deg(x),g(x) etg(x) suivant les valeurs dex. e.En déduire la position de la tangente T par rapport à la courbeC 0 . ³ ´ −→−→ 5.TracerC 0 O,et T dans le repèreı,. ¡ ¢ ′ 6. a.Montrer que pour tout réelx, les pointsM(x;f 0 (x)) etM x;f 1 (x) sont 1 symétriques par rapport à la droite (d) d’équationy=. 2 b.Comment obtientonC 1 à partir deC 0 ? TracerC 1 .

Partie B Étude de la suiteudéfinie pour tout entier naturelnpar : Z 1 u n =f n (x) dx. 0 µ ¶ 1+e 1.Montrer queu 0 =ln . 2 2.Montrer queu 0 +u 1 =1. En déduireu 1 . 3.Montrer que la suiteuest positive. 4.On posek(x)=f n+1 (x)−f n (x), x 1−e a.Montrer que, pour toutxréel,k(x)=. nx x e (1+e ) b.Etudier le signe dek(x) pourx∈[0 ; 1]. c.En déduire que la suiteuest décroissante. 5. a.Montrer que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, on a : −(n−1) 1−e u n−1 +u n =. n−1 b.Calculeru 2 . 6.Soitvla suite définie pour tout entiernsupérieur ou égal à 2 par : u n−1 +u n v n =. 2 a.Calculer la limite dev n quandntend vers+∞. b.Montrer que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, on a : 0 6 u n 6 v n . c.En déduire la limite deu n quandntend vers+∞.

Pondichéry

3

avril 2002