Baccalauréat STI Antilles–Guyane juin 2005

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Antilles–Guyane juin 2005 \ Génie mécanique, génie des matériaux L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis la disposition des candidats. Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. EXERCICE 1 5 points Leplan complexe estmuni du repère orthonormé ( O, ?? u , ?? v ) d'unité graphique 1 cm. On note A et B les points d'affixes respectives : zA = 2+2 p 3i et zB = 6+2 p 3i. 1. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com- plexes zA et zB. b. Que vaut la distance OA ? En déduire une construction du point A. (On expliquera la méthode de construction utilisée) Placer le point B. 2. a. Démontrer que le triangle OAB est isocèle. b. Donner unemesure de chacundes angles de vecteurs (?? u , ??? OA ) et (?? u , ??? OB ) . Endéduire lamesure de l'angle géométrique ?AOB, puis lamesure de cha- cun des angles géométriques ?ABC et ?OAB. 3. Soit F le point d'affixe zF = 4 p 3i. a. Placer le point F. b. Démontrer que le triangle OBF est équilatéral.

• repère orthogonal


• loi de probabilité de la variable aléa


• axe des abscisses


• variable aléatoire


• face supérieure du dé


• cha- cun des angles géométriques

Sujets

• Variable aléatoire

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2005
• Nombre de lectures: 29
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat STI Antilles–Guyane juin 2005\ Génie mécanique, génie des matériaux

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est misla disposition des candidats. Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.

E X E R C IC E points1 5 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni du repère orthonorméO,u,vd’unité graphique 1 cm. p On note A et B les points d’affixes respectives :z A =2+2 3ietz B =6+2 3i. 1. a.Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com plexesz A etz B . b.Que vaut la distance OA? En déduire une construction du point A. (On expliquera la méthode de construction utilisée) Placer le point B. 2. a.Démontrer que le triangle OAB est isocèle. ³ ´³ ´ −→−→−→−→ b.Donner une mesure de chacun des angles de vecteursuet, OAu, OB.  En déduire la mesure de l’angle géométriqueAOB, puis la mesure de cha   cun des angles géométriques ABC et OAB. 3.Soit F le point d’affixez F =4 3i. a.Placer le point F. b.Démontrer que le triangle OBF est équilatéral. c.Calculer | z A −z F | . Que représente le point A pour le triangle OBF ?

E X E R C IC E points2 5 Dans une foire un forain propose le jeu suivant. On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6, puis on fait tourner une roue portant les numéros 0, 1, 2, 3. On obtient ainsi un couple (a;b) où le nombreaest lu sur la face supérieure du dé, le nombrebest indiqué par la roue. On suppose dans tout l’exercice que tous les couples (a;b), aveca∈{1, 2, 3, 4, 5, 6} etb∈{0, 1,2, 3}, ont la même probabilité d’êtreobtenus. Le résultat du jeu est le nombrea×b, produit des nombresaetbdu couple (a;b) obtenu. 1.Recopier le tableau suivant et le compléter en indiquant les résultats possibles pour un jeu. Nombrealu sur le dé : Nombreb1 2 3 4 5 6lu sur la roue 0 0 1 2 6 3 15 2.Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : – A: « Le résultat du jeu est un nombre qui appartient à l’inter valle [5 ; 9]. » ; – B: « Le résultat du jeu a été obtenu à partir d’un numéro impair sur la roue. » ;

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– C= A∩B ; – D= A∪B. 3.Si le résultat du jeu est égal à 18, le joueur reçoit 10(; si le résultat du jeu appartient à l’intervalle [10; 17] , le joueur reçoit 5(; si le résultat du jeu ap partient à l’intervalle [5; 9], le joueur reçoit 1(; dans les autres cas le joueur ne reçoit rien et ne perd rien. Soit X la variable aléatoire qui, pour chaque jeu, prend pour valeur la somme reçue par le joueur.

a.Donner, sous forme de tableau, la loi de probabilité de la variable aléa toire X. b.Calculer l’espérance mathématique, notée E(X), de la variable aléatoire X. c.Sur l’ensemble de la durée de la foire, le forain compte avoir 2 000 parti cipants à ce jeu. S’il demande 2(de participation à chaque joueur, quel gain net pourra til espérer à l’issue de la foire ?

P R O B L È M E 10 points ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthogonalO,ı,d’unités graphiques : 2 cm sur l’axe des abscisses et 4 cm sur l’axe des ordonnées. On considère les deux fonctionsfetgdéfinies pour tout nombre réelx, par :

x2 2 f(x)=2xe−x−2xetg(x)= −x−2x. On nomme (C) et (P) les courbes représentatives respectives des fonctionsfetg ³ ´ −→−→ relativement au repère orthogonalO,ı,.

Partie A  Étude de la fonctiong

1.Calculer la limite de la fonctiongen+∞et sa limite en−∞. ′ ′ 2.On notegla fonction dérivée de la fonctiong. Calculerg(x) pour tout nombre réelx. . 3.Donner le tableau des variations de la fonctiong Partie B  Étude de la fonctionf µ ¶ 2 2x 1. a.Vérifier que, pour tout nombre réelxnon nul,f(x)=x2e−1−. En x déduire la limite de la fonctionfen+∞. b.Calculer la limite de la fonctionfen−∞. ′ 2. a.On notefla fonction dérivée de la fonctionf. ′x Montrer que, pour tout nombre réelx,f(x)=2(x+1) (e−1). x b.Résoudre dans l’ensemble des nombres réels l’inéquation : e−1 > 0. ′ En déduire, à l’aide d’un tableau de signes, le signe def(x) pourxréel. c.Établir le tableau des variations de la fonctionf; y faire figurer les valeurs exactes des extremums.

Partie C  Tracé des courbes (C) et (P) 1. a.Pour toutxréel, calculerf(x)−g(x), puislim [f(x)−g(x)]. Quelle conclu x→∞ sion peuton en tirer pour les courbes (C) et (P) ? b.Étudier le signe def(x)−g(x) selon les valeurs du réelx. En déduire les positions relatives de (C) et (P).

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2.On nommeαl’unique solution non nulle de l’équationf(x)=0, et A le point de la courbe (C) d’abscisseα. À l’aide d’une calculatrice, donner une valeur approchée décimale deαarron −2 die à 10. 3.Recopier le tableau suivant et le compléter avec les valeurs approchées déci −2 males def(x) etg(x) arrondies à 10.

x−2, 5−2−1−0, 50 0,5 1 f(x) g(x) ³ ´ −→−→ 4.O,Dans le repèreı,, placer le point A défini à la question C. 2., puis tra cer les courbes (C) et (P).

Partie D  Calcul d’une aire x 1.Soithla fonction définie par : pour tout nombre réelx,h(x)=(x−1)e . ′ ′ a.On notehsa fonction dérivée. Pour toutxréel, calculerh(x). x b.En déduire une primitive surRde la fonction :x7→−−2xe . 2.SoitSla surface plane délimitée par les courbes (C) et (P) et les droites 2 d’équations respectivesx= −1 etx=0. On noteA,l’aire, exprimée en cm de la surfaceS. Hachurer la surfaceSsur le graphique de la partie C. CalculerA. En donner la valeur exacte, puis une valeur décimale approchée à −2 10 près.

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