CAPES externe

Description

Niveau: Supérieur, Bac+5
[ CAPES externe 2005 \ Deuxième épreuve écrite (épreuve de remplacement)

• courbe


• ome de degré quelconque


• définition analogue


• courbe du plan π


• equation cartésienne


• connaissance de la définition de la transformation de descartes


• axe des abscisses


• descartes

Sujets

• Thalès
• Courbe
• Équation cartésienne
• Descartes

Informations

• Publié par: apmep
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• Langue: Français

Extrait

[CAPES externe 2005\

Deuxième épreuve écrite (épreuve de remplacement)

CAPES externe

A. P. M. E. P.

Sauf exceptions dûment signalées, chaque partie peut être traitée indépendam ment des autres. Dans tout le problème, on se place dans le cadre d’un plan euclidienΠrapporté à ³ ´ −−→−−→ un repère orthonormé directO,∈1 ,∈1 parrapport auquel les coordonnées sont notéesxety. La droiteΔest définie par son équationx=aoùaest une constante réelle strictement positive ; elle coupe l’axe des abscisses au pointA.

La notation : X={M|ϕ(x;y)=0} désigne la partieXdu plan définie comme l’ensemble des pointsMdont les coor données (x;y) vérifient l’égalitéϕ(x;y)=cette relation est alors appelée une0 ; équation deX. Une définition analogue est posée dans le cas de coordonnées po −−→ laires (ρ,θ) par rapport au repère formé du point O et de la demidroiteR + ∈1 .

Première partie

Soitkune constante réelle strictement positive. On noteΦla courbe décrite par le pointMde coordonnées :

x=a+kcost,y=atant+ksint ¸ · i h π ππ3π oùtdécrit la réunion−;∪; . 2 22 2 On noteHla projection orthogonale deMsurΔetΩle point deΔd’ordonnée atant. 1.Dans le cas particuliera=1,k=2, étudier la courbeΦ(variations, étude asymptotique, points singuliers, représentation graphique, . . . ) ; on pourra s’ai der d’une calculatrice graphique. 2.Donner l’allure deΦdans le cas général, en distinguant : a.les cas où 0<k<a, b.le cas oùk=a, c.les cas oùk>a. 3.Déterminer une fonction polynomialefà deux variables telle quef(x;y)=0 soit une équation deΦ. 4.Donner une équation polaire deΦ. 5.Déterminer les points réguliersMdeΦet donner en ces points les coordon nées d’un vecteur normal. 6.Calculer les coordonnées du point d’intersectionRde la normale enMavec la droite d’équationy=atantdans le cas oùMn’appartient pas à l’axe des abscisses. Que peuton dire du triangleROΩ?

Deuxième partie

Sont traitées ici quelques propriétés des coniques exclusivement utilisées dans les troisième et quatrième parties. −−→ Un axe est défini par une droite D, un point O 1 de D et un vecteur unitaire∈1di rigeant D. Pour tout couple(A,B)de points de D, on appelle mesure algébrique et ³ ´ −−→ l’on note AB la différence x b −x A de leurs abscisses relatives au repèreO 1 ,∈1: on remarquera qu’elle est indépendante du point O 1 . La distance de deux points M et Ndu plan est notée MN .S’ils sont distincts, on note (M N)l’unique droite qui les joint.

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Sur l’hyperbole

A. P. M. E. P.

1.Écrire le théorème de Thalès dans le plan, ainsi que sa réciproque, en utilisant les mesures algébriques définies cidessus : on se donnera deux axes distincts ′ ′′ coupant chacun un triplet de droites (D,D,D) dont les deux dernières sont parallèles et disjointes, et l’on écrira, sans justification, une condition néces saire et suffisante sur les six points d’intersection pour que les deux premières le soient, éclairée par une figure à main levée. 2.Soient trois axes du planΠdont les deux premiers, sécants en un pointO 1 , sont respectivement l’axe des abscisses (O 1 x) et l’axe des ordonnées (O 1 y) d’un certain repère affine, le troisième les coupant respectivement en deux points distinctsUetV. Pour tout pointMde (U V), autre queUouV, on notePetQses projec tions respectives sur chacun des deux axes de coordonnées parallèlement à l’autre. Déterminer l’unique hyperboleHpassant parMet admettant (O 1 x) et (O 1 y) comme asymptotes (on pourra introduire les projections sur les axes ′ d’un point courantMdeH). ′ 3.À l’aide par exemple du théorème de Thalès, montrer qu’un pointMde (U V), distinct deM, appartient àHsi, et seulement s’il est symétrique deMpar rapport au milieu de [U V]. 4.Quelle propriété obtienton si l’on fait tendre un pointNdeHversM?

Sur la parabole

Dans ce qui suit, M est un point d’une parabole P de foyer F , de sommet S et de directrice D, et H sa projection orthogonale sur D.

5.SoitTla médiatrice du segment [F H]. Montrer que, pour tout pointNdeT différent deMet se projetant orthogonalement enKsurD, on dispose de ′ l’inégalitéN F>N K. Ce résultat restetil valable si l’on considère un pointN ′ ′ tel queN F>N H? 6.Déduire de la question précédente que la tangente àPenMest la médiatrice du segment [F H]. 7.Quel est l’ensemble des projections orthogonales deFsur les tangentes à la parabole ? 8.Cette question établit les principales propriétés de la puissance d’un point par rapport à un cercle. a.SiAetBsont deux points d’un cercle du planΠalignés avecM, on défi nit la puissance deMpar rapport au cercle comme le nombreM A∙M B 2 s’ils sont distincts, etM As’ils sont confondus et siMappartient à la tangente enA. Établir la cohérence de cette définition. ¡ ¢ b.Six 0 ;y 0 est le couple des coordonnées deMrelatives à un repère or thonormé dans lequel le cercle a pour équation :

2 2 C(x;y)=x+y−2a x−2b y+c=0, ¡ ¢ montrer que la puissance deMest égale àC x 0 ;y 0 . c.Que peuton dire des points de puissance nulle par rapport au cercle ? d.Déterminer (par exemple analytiquement) l’axe radical de deux cercles de centres distincts, c’estàdire le lieu des points ayant mêmes puis sances par rapport à ces cercles. ′ ′ 9.Soit (M,M) un couple de points distincts deP,Ileur milieu etHetHleurs projections orthogonales respectives surD.

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A. P. M. E. P.

a.Déterminer l’ensemble des points ayant même puissance par rapport ′ aux deux cercles passant parFet respectivement centrés enMetM. b.SoitJce. Quel’intersection de l’axe radical précédent et de la directri ′ peuton dire du triplet de points (J,H,H) ? 10.Cette question établit la principale propriété des cordes dePayant une direc tion donnée. ′ a.Montrer que, lorsque l’on fait varier le couple (M,M) de façon que la ′ droite (M M) reste parallèle à une direction fixe, le pointIdécrit alors une partie d’une droite orthogonale àD. ′ b.Que devient la configuration précédente lorsque la droite (M M) devient tangente à la parabole? Relier la figure ainsi obtenue au résultat de la question 7. c.Soit une droite quelconque perpendiculaire àD. Montrer qu’elle est un axe de symétrie (généralement non orthogonale) pour la parabole et don ner une construction géométrique de la direction selon laquelle s’exerce cette symétrie. 11.SoitQun point dePdistinct deSet (N,M) un couple de points distincts de −−→ Pdéterminant une corde parallèle àSQ. On noteLle point défini par∈1= −−→ ∈1 ,Ale symétrique orthogonal deNpar rapport à l’axeSFde la parabole,Ω etRles projections respectives parallèlement à l’axe deAet deQsur (N M). −−→−−→ Déduire de la question précédente l’égalité∈1= ∈1 . Étendre le résultat au cas oùM=Net où l’on remplace la droite (N M) par la tangente àPenN.

Troisième partie

SoitΓune courbe du planΠprivée de ses éventuels points d’abscisse nulle. On dit qu’une courbe C deΠstest la transformée de Descartes de ’ relative à O et à " si elle e formée des points M tels qu’il existe un point de " et un point P commun à (O)e tàΓ tels que O ? ?"P = ? ?M". 1.SiΓ), y = ’(t),est définie par des équations paramétriques de la forme : x = (t montrer qu’une représentation paramétrique de sa transformée de Descartes C s’écrit sous la forme : x = a + (t), y = ’(t) (t) [a + (t)]. 2.Donner une équation cartésienne des transformées de Descartes des droites ΓdeΠprivées de leurs éventuels points d’abscisse nulle. Expliquer le résultat trouvé à partir des propriétés mises en évidence dans la deuxième partie. 3.Donner une équation cartésienne de la transformée de Descartes de la para bole d’équation y = cx2 (c > 0) privée de son sommet. 4.Retrouver ce résultat gr ?ace à une question de la deuxième partie. 5.c (x ? a ? b)2 + d)Montrer que C, la courbe d’équation cartésienne : y(x ? a) = x ( ′ ′′ (c=0)p r i véab sci s se aed e se s p oi n t sd,or me s t l a t r an s féded eD e sc ar t e sd el a p ar abol eéq u a t i on y= ′ c(x?b)2+d p r i véed u p oi n t(0,b2c+d).Mon t r er q uece t t ecour beC ad me t une p ar abol e a s y m p t o t e,s tc e ′ à−d i r edéq u a t i on y="(x)où"e s t un p ol y n?omed u second d e g rét el q ue: l i m|x|"+[y?"(x)]=0,p ar abol ed on t on p réci ser al a p o si t i onr el a t i v eàC. 6.Donner la forme de cette courbe C pour b = 0, c = 1, d = 1 et a = 1, puis pour a = 6 (dans ce second cas, on pourra plus précisément étudier l’allure de C aux voisinages des points d’abscisse x = 4 et x = 6). 7.étudier la transformée de Descartes C d’un cercleΓde centre O et de rayon k privé de ses deux points d’abscisse nulle. Que retrouveton ainsi ? Tournez la page S.V.P.

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Quatrième partie

A. P. M. E. P.

Cette partie utilise la première question de la partie précédente. 1.Vérifier que= ?a cos t, où t décrit " ? 2 , 2, est une équation polaire du cercle ’ ′ passant par O, centré au point de coordonnées ?a2, 0e t p r i véd e son p oi n t dab sci s senul l e.Vér i f i er q ue s x=a si n2t,y=a t an t si n2t.or med el acour beD onner l a f.Mon t r er q ueC ad me t une au t r er e p résen t a t x=am21+m2,y=am31+m2u˚C ommen t p eu t−onr el i er l e sd eu xr e p résen t a t i on s? 2.Soit P la parabole d’équation y2 = ?4a x et M un point de C distinct de O. On note M1 le point distinct de O commun à P et à la droite (OM). Calculer le produit scalaire (O ? ?M ?"1ΠΠO ? ?M"). 3.Montrer qu’il existe un unique point M2 de P, dont on donnera les coordonn ées, tel que la tangente en M2 à P coupe orthogonalement (OM) en M. ′ 4.Notantl e p oi n t d e"a s sociéàM l or sd el acon s t r uc t i ond el a t r an s for méed eD e sc ar t e sd ep ar r a p p or tàOmo x(x2+y2)=u x2+2v x y+w y2.

5. Cinquièmepartie

On revient maintenant à une courbe ’ quelconque, privée de ses points d’abscisse nulle. Cette partie ne demande, pour pouvoir être traitée, que la connaissance de la définition de la transformation de Descartes. On y montre que cette transforma tion permet de créer des courbes dont une équation annule un polyn ?ome de degré quelconque, ce qui était l’un des objectifs poursuivis par Descartes luimême au moment de la rédaction de son livre La Géométrie, paru en 1637. 1.Soitfune fonction polynomiale réelle de degrés pΠ1 et qΠ1 par rapport à deux variablesxety, telle que tout point de ’ vérifie f(x, y) = 0. Déterminer une fonction polynomiale non nulle g telle que g(x, y) = 0 est une équation cartésienne de la transformée de Descartes C de ’. 2.étudier le même problème en échangeant les r ?oles de C et de ’. 3.Déterminer une fonction polynomiale g convenable dans le cas où f(x, y) = y ? x2. Peuton en obtenir une autre, de degré inférieur, par division de g par un polyn ?ome de la forme ax + b avec (a, b) 4.Appliquer le résultat de la question 5.1 au cas particulier faisant l’objet de la première partie. 5.Soit : f(x, y) = n m=v m k=0 fm,kxme réelle de?kyk une fonction polynomial degrés respectifs pΠ1 et qΠ1 par rapport à x et y. On notera qu’il existe donc un m et un k tels que fm,qfp+k,k=0al or s q ue,p our t ou t m,f m,k=0si k> ′ q ouk<m?p.Ond i t q ue fe s t d ed e g réne t d e v al u a t i on v l or s q ui l e xi s t e aumoi n sunke t unh t el s q ue fn 0. Soit ( un réel donné non nul. On note "(x, y) la fonction rationnelle définie ′ par : "(x, y) = fx?(,y x(x?().Mon t r er q ui l e xi s t eunen t i er r com p r i sen t r e0onc t i on g de t q t el q uel a féf in xr"(x,y)soi t p ol y nomi al e.D an sl a sui t ed ece t t e p ar t i e,r e s t su p p o sémi ni m al.Mon t r er,p ar e xem p l e ′ ′ (x+()b y q oùf sounulae t b son t d e sen t i er s p o si t isd onnés,q uelon p eu t a v oi r rég alàn im p or t e q uel en 6.Déterminer l’entier maximal sΠ0 tel que la fonction F = TΠdéfinie par : F(x, y) =(f ) (x ? () ?sg(x, y) soit polynomiale. Montrer que, si rΠ1, alors F(0, 0) = 0. 7.nomiale F. DémontrerCalculer en fonction de (n, v, r) le degré N de la fonction poly l’inégalité N " 2n, et donner un exemple, où n est un entier donné strictement positif, tel que l’égalité soit atteinte. 8.f ou nul donné, etCalculer N pour f(x, y) = xa + (x + ()qyq où a est un entier positi vérifier dans ce cas l’inégalité NΠn 2 ∙ Montrer que, pour tout entier n strictement positif et tout entier m compris entre la partie entière de n + 1 2 etn, il existe une fonction polynomialeftelle que N = m. 9.Montrer que, sif(x;y) n’est pas le produit d’une fonction polynomiale de la forme x + k par une fonction polynomiale, il existe un réel non nul ? tel que : f = T ?(F) = T ? ’ TΠ(f )= TΠ). Que peuton en déduire pour N ?’ T ?(f 10.Déterminer les fonctions polynomialesftelles que TΠ(f )= f.

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