Capesext deuxieme composition de mathematiques 2007 capes maths capes de mathematiques

Description

´Capes externe de mathematiques : session 2007`deuxieme compositionINTRODUCTIONnDans tout le probl`eme, n d´ esigne un entier naturel non nul. On munit R du produitscalaire usuel :nn n∀x=(x ,...,x )∈ R , ∀y =(y ,...,y )∈ R , x, y = x y1 n 1 n i ii=1net on d´efinit la norme d’un vecteur x=(x ,...,x )∈ R par1 n n2||x|| = xii=1n n nSoit a un vecteur de R non nul, on note s la sym´etrie orthogonale de R dans Rad´ efinie para, xn∀x∈ R,s (x)=x− 2 aaa, an nOn dit qu’une partie R de R est un syst`eme de racines dans R si elle v´erifie lesconditions suivantes :n– la partie R est finie, ne contient pas 0 et engendre le R-espace vectoriel R ;– pour tout α∈ R, s (R)=R (en particulier −α∈ R);αα,β– pour tous α,β ∈ R, n =2 ∈ Zα,βα,α– pour tout α∈ R, les seuls ´el´ements de R proportionnels a` α sont α et −α.Les coefficients n (α,β ∈ R) sont appel´es les coefficients de structure du syst`emeα,βde racines R.On dit que deux syst`emes de racines R et R sont des syst`emes de racines isomorphesn ns’il existe un isomorphisme d’espaces vectoriels ϕ : R → R v´ erifiantϕ(R)=R et ∀α,β ∈ R, n = nϕ(α),ϕ(β) α,βDans la partie I, on ´etudie les syst`emes de racines du plan. Cette partie permet de sefamiliariser avec cette notion et d’avoir des exemples sur lesquels s’appuyer pour la suitedu probl`eme. Puis dans la partie II, on ´etudie des relations d’ordre total compatibles avecnla structure d’espace vectoriel de R . Cette partie est ind´ependante de ...

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Extrait

Capesexternedemath ´ ematiques:session2007 deuxi ` emecomposition INTRODUCTION

Danstoutleproble`me,nunneigesnaertiennonlerut´d.lun scalaire usuel :

n ∀x= (x 1 , . . . , x n )∈R,

n ∀y= (y 1 , . . . , y n )∈R,

n etond´efinitlanormed’unvecteurx= (x 1 , . . . , x n )∈Rpar  n    2 ||x||=x i i=1

n On munitRdu produit

n  x, y=x i y i i=1

n n n Soitaun vecteur deRnon nul, on notes a alys´mteiroetrlenagohodeRdansR de´finiepar a, x n ∀x∈R, s a (x) =x−2a a, a n n On dit qu’une partieRdeRest uneredinacyssemt`sedansRisleel´verifieles conditions suivantes : n – la partieRengendre le0 et est finie, ne contient pas R-espace vectorielR; – pour toutα∈R,s α (R) =R(en particulier−α∈R) ; α, β – pour tousα, β∈R, n α,β = 2∈Z α, α – pour toutα∈Rle,euss´elseml´stneedR`sannlepoporoitrαsontαet−α. Les coefficientsn α,β (α, β∈Rpatnos)sleesl´pecoefficients de structureudsyst`eme de racinesR.  Onditquedeuxsyst`emesderacinesRetRsont desedseme`tisenicarrphesomoysss n n s’il existe un isomorphisme d’espaces vectorielsϕ:R→Rfiantvire´

 ϕ(R) =R

et

∀α, β∈R,

n=n ϕ(α),ϕ(β) α,β

DanslapartieI,one´tudielessyst`emesderacinesduplan.Cettepartiepermetdese familiariser avec cette notion et d’avoir des exemples sur lesquels s’appuyer pour la suite duprobl`eme.PuisdanslapartieII,one´tudiedesrelationsd’ordretotalcompatiblesavec n la structure d’espace vectoriel deRC.teetaprtieestind´ependetnaaledtrap.IeisCe relationsd’ordrepermettront,danslapartieIII,d’extraired’unsyste`mederacinesune

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