CCMP 2003 mathematiques ii classe prepa mp

Description

A 2003 Math MP 2´ ´ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.´ ´ ´ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DEL’ESPACE,´ ´ ´DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,´DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINESDE NANCY,´ ´DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.´ECOLE POLYTECHNIQUE (Fili`ere TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2003´ ´EPREUVEDEMATHEMATIQUES` ´DEUXIEME EPREUVEFili`ere MP(Dur´ee de l’´epreuve : 4 heures)(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).Sujet mis al` adispositiondesconcours:Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.Les candidats sont pri´es de mentionner de faco¸ n apparente sur la premi`erepage de la copie :´MATHEMATIQUES 2-Fili`ere MP.Cet ´enonc´e comporte 6 pages de texte.Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreurd’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant lesraisons des initiatives qu’il est amen´e`a prendre.L’objet du probl`eme est l’´etude de m´ethodes analytiques (m´ethodes du gra-dient, du Lagrangien) pour r´esoudre l’´equation lin´eaire A.x = b o`u A est unenmatrice sym´etrique positive, inversible, b un vecteur donn´edeR et x un vecteurn ninconnu deR ou d’un sous-espace vectoriel F deR .Dans tout le probl`eme, l’entier n est un entier naturel sup´erieur ou ´egala2`n(n≥ 2) ; la base canonique deR est not´ee e ,e, ..., e ; le produit scalaire de1 2 nndeux vecteurs x et y deR est not´e(x| y). La ...

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Extrait

A 2003 Math MP 2

´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2003

´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ´ DEUXIEME EPREUVE Filie`reMP (Dur´eedel’e´preuve:4heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujetmis`aladispositiondesconcours: Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.

Lescandidatssontprie´sdementionnerdefa¸conapparentesurlapremi`ere page de la copie : ´ MATHEMATIQUES2-Fili`ereMP.

Cete´nonc´ecomporte6pagesdetexte.

Si,aucoursdel’e´preuve,uncandidatrepe`recequiluisembleˆetreuneerreur d’´enonce´,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantles raisonsdesinitiativesqu’ilestamene´`aprendre.

L’objetduproble`meestl’´etudedem´ethodesanalytiques(me´thodesdugra- dient,duLagrangien)pourr´esoudrel’e´quationline´aireA.x=bu`oAest une n matricesym´etriquepositive,inversible,bnvecteurdonn´edeuR etxun vecteur n n inconnu deRou d’un sous-espace vectorielFdeR.

Danstoutleproble`me,l’entiern`l2aseeluratrnientnetuage´uorueire´pus n (n≥2) ; la base canonique deR´toneeeste 1 , e 2 e, ..., n ; le produit scalaire de n deux vecteursxetydeR(e´tnotesx|y). Lanorme d’un vecteurxeneots´te x.

Lesmatricesconside´re´essontr´eelles;l’espacevectorieldesmatricescarre´es re´ellesd’ordrenenot´estM n (Rnecilpoitaiuqnua`,’lpaqseudaimelts).I matriceMdeM n (Rsup´erieure,)saosiclebaroenN(M) des normes des images n parMdes vecteurs unitaires deRest une norme :

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