CCMP 2004 mathematiques ii classe prepa pc

Description

A 2004 Math PC 2 ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2004 SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUESFiliere PC(Duree de l’epreuve : 3 heures)(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).Sujet mis a la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.Les candidats sont pries de mentionner de fa con apparente sur la premiere page de la copie :MATHEMATIQUES 2-Filiere PC.Cet enonce comporte 4 pages de texte.Si, au cours de l’epreuve, un candidat repere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’enonce, il le signalesur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amene a prendre.pDans tout le probleme l’entier n est strictement positif (n 1) ; l’expression C designe le nombrendes parties ayant p elements d’un ensemble de n elements. Autre notation : npC = .n pPremiere partieSoit (u ) et (P ) les suites de polynˆomes denies par les relations suivantes :n nn∈N n∈Nn1 dn nu (x) =x (x 1) ; P (x) = u (x).n n nnn!dxIntegrale de la fonction u sur le segment K = [0,1] :n1. Etant donnes un reel strictement positif a (a> 0) et un entier naturel k (k∈N), demontrerl’existence de ...

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Extrait

A 2004 Math PC 2

´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2004

´ ´ SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filie`rePC (Dure´edel’´epreuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT,TPE-EIVP.

Lescandidatssontpri´esdementionnerdefa¸conapparentesurlapremi`erepagedelacopie: ´ MATHEMATIQUES2-Fili`erePC.

Cete´nonce´comporte4pagesdetexte.

Si,aucoursdel’e´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleeˆtreuneerreurd’´enonce´,illesignale sursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilestamen´ea`prendre.

p Danstoutleproble`mel’entiernest strictement positif(n≥1) ; l’expressionCde´isnglenemoerb n des parties ayantp’usdntme´eel´deemelbensnnnotautrets.Aemene´´lnoit:   p n C=. n p

Premi`erepartie

Soit (u n () etP n eefisndieepsoplaynlˆeosmseusid´titnos)siulrseeralntva:es n∈Nn∈N n n 1d n u n (x) =x(x−1) ;P n (x) =u n (x). n n!dx Int´egraledelafonctionu n sur le segmentK= [0,1] : ´ 1.Etantdonne´sunre´elstrictementpositifa(a >0) et un entier naturelk(k∈Nrenort),emd´ l’existencedel’int´egraleI a, k :nfie´dsed-iceilaetussoerullcca Z 1 a−1 k I a, k =x(x−1)dx. 0 2.De´duiredur´esultatpr´ece´dentlavaleurdel’inte´graledelafonctionu n ,nete´mentusegduea n K= [0,1],meffieocneicbudtoˆninoudcnitneofC: 2n

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