CCP 2003 mathematiques 1 classe prepa tsi

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE FILIÈRE TSI – SESSION 2003 ______________________ MATHÉMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. NB. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Les cinq parties du problŁme sont indØpendantes α dØsignant un rØel non nul, on note f la fonction dØfinie sur R par f (x) = cos(αx). α α PARTIE I 1. Montrer qu on peut se limiter α > 0 (ce qu on fera dans toute la suite du problŁme). 2. VØrifier que f est pØriodique ; on notera T une pØriode strictement positive. α α 3. De quelle Øquation diffØrentielle linØaire, du second ordre, coefficients rØels constants, homogŁne, f est-elle solution ? RØsoudre cette Øquation diffØrentielle. α 4. On note respectivement E et d la partie entiŁre et la partie dØcimale de α. C est- -dire α = E + d, avec E entier naturel et 0 ≤ d < 1. DØterminer en fonction de E et d le nombre de solutions dans [0,π] de f (x) = 0. α PARTIE II On pose f = f + f , oø α et β sont des rØels strictement positifs distincts. α,β α β 1. Montrer que f est pØriodique si et seulement si il existe deux entiers naturels non nuls k et p α,βtels que : kα = pβ (on pourra envisager x = 0). On notera T ...

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE FILIÈRE TSI – SESSION 2003 ______________________ MATHÉMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. NB. :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Les cinq parties du problème sont indépendantes αdésignant un réel non nul, on note f α la fonction définie surRpar f α ( x) = cos(αx). PARTIE I 1. Montrerquon peut se limiter àα>0 (ce quon fera dans toute la suite du problème). 2. Vérifierque f α est périodique ; on notera T α une période strictement positive. 3. Dequelle équation différentielle linéaire, du second ordre, à coefficients réels constants, homogène, f α est-elle solution ? Résoudre cette équation différentielle. 4. Onnote respectivement E et d la partie entière et la partie décimale deα. Cest-à-direα= E + d, avec E entier naturel et 0≤d<1. Déterminer en fonction de E et d le nombre de solutions dans [0,π] de f α (x) = 0. PARTIE II On pose f α,β = f α + f β , oùαetβsont des réels strictement positifs distincts. 1. Montrerque f α,β est périodique si et seulement si il existe deux entiers naturels non nuls k et p tels que : kα= pβ(on pourra envisager x = 0). On notera T α,β une période de f α,β . 2. Relieralors T α,β à T α et T β . 3. αetβétant à nouveau quelconques (mais toujours réels strictement positifs distincts), montrer 2 22 '' la relation : f α,β + αf α,β = (α-β) f β . (4) 22 22 4. Endéduire que f α,β est solution de léquation (E) : y+ (α+β)y''+α βy = 0. ' ' 5. Vérifierque f α est solution de (E). En déduire que f β , f α , également solutions de (E).f sont β