CCP 2004 mathematiques 2 classe prepa psi

Description

Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. **** Ce problème porte sur l'étude d'une suite double et de différents contextes dans lesquels on retrouve cette suite. On désigne par N l'ensemble des entiers naturels, par N* l'ensemble N privé de 0, par Z l'ensemble des entiers relatifs et par R l'ensemble des nombres réels. Pour n ∈ N , on note 0, n l'ensemble des entiers naturels k tels que 0≤≤kn . On note M Z l'anneau des matrices carrées d'ordre n +1 à coefficients dans Z . Pour ()n +1M ∈M Z , on note Mm= où m est l'élément de la ligne p et de la () () 2n +1 pq, pq,pq,0∈,n()mm0,0 0,1colonne q . Par exemple M ∈M Z sera noté M = . () 21,0 1,1 Pour M ∈M Z , on note det M le déterminant de M et com M la comatrice de M . () () ( )n +1 n ∈NR X désigne l'espace des polynômes à coefficients réels et, pour , R X désigne le [ ] [ ]nsous-espace de R X des polynômes de degré inférieur ou égal à n . [] Les parties II, III et IV de ce problème sont indépendantes entre elles ; seule la suite étudiée dans la partie I apparaît dans une ...

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• Publié par: aiolos
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Extrait

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            Les calculatrices sont autorisées.  ****  N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil a été amené à prendre.  ****  Ce problème porte sur l'étude d'une suite double et de différents contextes dans lesquels on retrouve cette suite.  On désigne parN l'ensemble des entiers naturels, parN * l'ensembleN privé de 0, parZ l'ensemble des entiers relatifs et parR l'ensemble des nombres réels.  Pourn∈N note, on  0,n   l'ensemble des entiers naturelsk 0 tels que≤k≤n. 

On note M n+1 ( Z )  des matrices carrées d'ordre l'anneaun coefficients dans1 àZ. Pour

M ∈M n+1 ( Z ) , on noteM=m p,q ( p,q)∈  0,n  2  oùm p,q  l'élément de la ligne estp de la et m m colonneq. Par exempleM ∈M 2 ( Z )  sera noté M   =  0,0 0,1    . m 1,0 m 1,1  PourM ∈M n+1 ( Z ) , on det note ( )  et de le déterminantcom ( M )  . la comatrice de  R [ X désigne l'espace des polynômes à coefficients réels et, pour n∈N  ,R n [ X le désigne sous-espace de R [ X ]  des polynômes de degré inférieur ou égal àn.  Les partiesII, IIIetIVde ce problème sont indépendantes entre elles ; seule la suite étudiée dans la partieIapparaît dans une question de chacune de ces parties.   Tournez la page S.V.P. 