CCP 2005 mathematiques 1 classe prepa pc

Description

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• Publié par: aiolos
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• Langue: Français

Extrait

Les calculatrices sont interdites

****

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance `a la clart´e, `a la pr´ecision et `a la conci-

sion de la r´edaction.

Si un candidat est amen´e `a rep´erer ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il la signa-

lera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a

´et´e amen´e `a prendre.

****

Objectifs, notations et d

´

efinitions

Les objectifs de ce probl`eme sont les suivants :

- ´etendre la notion d’exponentielle `a une matrice sans faire appel aux s´eries, mais par analogie

avec l’introduction de la fonction r´eelle de variable r´eelle :

comme solution du probl`eme

de Cauchy :

.

- ´etablir quelques propri´et´es de cette exponentielle.

- r´esoudre dans

une ´equation diff´erentielle du type

que l’on rencontre en particulier

en m´ecanique du solide.

Soit

l’ensemble des entiers naturels,

et pour

dans

,

.

Si

est un entier sup´erieur ou ´egal `a 1, on note

le

-espace vectoriel des matrices carr´ees

d’ordre

`a coefficients dans

et

le

-espace vectoriel des matrices colonnes `a

lignes

`a coefficients dans

.

est la matrice identit´e dont les coefficients sont donn´es par le symbole de

Kronecker d´efini par

si

si

Pour

appartenant `a

,

d´esigne la matrice transpos´ee de

,

d´esigne

le cofacteur de l’´el´ement

et on appelle comatrice de

la matrice dont le coefficient de la

`eme

ligne et de la

`eme

colonne est

. Cette matrice sera not´ee

.

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