CCP 2005 mathematiques 2 classe prepa pc
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Les calculatrices sont interdites****N.B.: Le candidat attachera la plus grande importance a la clarte,a la precision et a la concision de la redaction.Si un candidat est amene a reperer ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’enonce,il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa compositionen expliquant les raisons des initiatives qu’il a ete amene a prendre.****PARTIE IOn considere l’equation di erentielle lineaire du 2 ordre en la fonction inconnue y de lavariable reelle x :00 0(E ) x(x+1)y (x)+(2x+1)y (x) (+1)y(x) = 0,ou designe un parametre reel.I.1. Etant donne ∈ IR, comparer les equations (E ) et (E ). 11On supposera dans la suite du probleme que .2Dans la suite de cette partie, y designe une fonction de la variable reelle x, admettant un+∞Xndeveloppement en serie entiere y(x) = a x au voisinage de 0.nn=0I.2. Montrer que, pour que y soit solution de l’equation (E ), il faut et il su t que l’onait pour tout n∈ IN :(+n+1)( n)a = a .n+1 n2(n+1)Tournez la page SVPPage 2I.3.1I.3.1. Donner une condition necessaire et su sante sur ∈ [ ,+∞[ pour que2l’equation (E ) admette des solutions polynomiales de degre donne d∈ IN ?I.3.2. Lorsque c’est le cas, montrer qu’il existe une unique solution polynomiale de(E ) de degre d, que nous noterons ϕ , telle que ϕ (0) = 1. d dI.3.3. Expliciter la fonction polynˆome ϕ .10 0 0I.3.4. Determiner les coe cients a, b, c, a, b, c tels que ...

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Les calculatrices sont interdites **** N.B.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclarte´, `alapre´cisioneta`laconcisiondelare´daction. Siuncandidatestamen´e`arep´erercequipeutluisemblerˆetreuneerreurde´nonc´e, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition enexpliquantlesraisonsdesinitiativesquila´ete´amene´a`prendre. ****
PARTIE I
Onconside`rel´equationdi´erentielleline´airedu2ordreenlafonctioninconnueyde la variablere´ellex: 00 0 (Eλ)x(x+ 1)y(x) + (2x+ 1)y(x)λ(λ+ 1)y(x) = 0, o`uλeel.rer´m`etaparennusegi´d
I.1.tdonEtann´eλs(ontiIR,rareocpmqeauel´sEλ) et (Eλ1). 1 Onsupposeradanslasuiteduproble`mequeλ≥ −. 2
Dans la suite de cette partie,ydise´uengalavnoedcnitenofeeelller´riabx, admettant un +X n de´veloppementense´rieentie`rey(x) =anxau voisinage de 0. n=0 I.2.Montrer que, pour quey(noitauioutooiltsseq´elndEλ), il faut et il suffit que l’on ait pour toutnIN : (λ+n+ 1)(λn) an+1=an. 2 (n+ 1) Tournez la page SVP
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