CCSE 2001 mathematiques 2 classe prepa psi

Description

Concours Centrale - Supélec 2001 Épreuve : MATHÉMATIQUES II Filière PSI La partie IV utilise des décompositions des parties 1 à III, pour déterminer des Rappels, notations et objectifs du problème. approximations des valeurs propres d’une matrice. Dans tout ce problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2 . Toutes les matrices considérées ici sont à coefficients réels. On note : Partie I - l A?J ‘ensemble des matrices carrées d’ordre n . l zX (resp. 2**) l’ensemble des matrices symétriques (resp. symétriques 1.A - définies positives c’est-à-dire dont les valeurs propres sont strictement posi- I.A.l) Montrer que si A appartient à A,, est triangulaire inversible, son tives). inverse A-’ est aussi triangulaire. l %Y!~ l’ensemble des matrices triangulaires supérieures (termes sous-diago- I.A.2) Montrer que (z,, x ) est un groupe. naux nuls) et %l l’ensemble des matrices appartenant à %!,, dont tous les 1.B - Soit A EJ&?,, : termes diagonaux sont positifs ou nuls. I.B.l) Montrer que si A est inversible, il existe au plus ml couple l pn l’ensemble des matrices triangulaires inférieures dont les terïnes diago- (L,U)Ez,x%,, telqueA = LU. naux valent I . Le symbole I,, désigne la matrice unité diag( 1, . . . . 1) élément de A,, . Si c’est le cas, on dira que A possède une décomposition LU ( L comme Lower et U comme Upper). Pour A EM?? , le terme de A situé sur la ligne i et la colonne j est noté Ai, j. I.B.2) Montrer que si A est inversible et possède une ...

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• Publié par: aiolos
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