Composition de Physique 2007 Agrégation de sciences physiques Agrégation (Interne)

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Concours de la Fonction Publique Agrégation (Interne). Sujet de Composition de Physique 2007. Retrouvez le corrigé Composition de Physique 2007 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 28 juin 2008
• Nombre de lectures: 47
• Langue: Français

Extrait

 Lobjet du problème est de présenter les aspects classiques dune nouvelle méthode de mesure « mécanique » de la constante de Planck h.  Dans la partieA, après avoir présenté un moyen de réalisation dun champ magnétique radial dans un plan, on précise les conditions de mesure par pesée, dune force de Laplace. La partieB aborde les conditions dapparition et de mesure dune force électromotrice dinduction créée dans un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire. La partieC rassemble ces éléments pour relier h à une masse et à des grandeurs cinématiques. Des questions pédagogiques associées au thème de lénergie sont proposées auD. Enfin, on sintéresse dans la partieE au principe optique de mesure dun déplacement afin dillustrer lune des mesures cinématiques à haute exactitude utiles à lexpérience.   Quatre des cinq parties comprennent le mot « mesure » dans leur intitulé. Il sera donc tenu le plus grand compte des capacités démontrées par les candidats à prendre en compte, commenter, illustrer, le cas échéant de façon numérique, les aspects expérimentaux.   Les différentes parties sont assez largement indépendantes. Au sein de chacune d’elles, de nombreuses questions le sont également ; d’autres peuvent être résolues en admettant, si besoin, les résultats précédemment donnés dans l’énoncé. 

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page 2

 1.  

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Partie A : Mesure dune force de Laplace

Création dun champ magnétique radia . l

1.1. On considère une bobine circulaire planeC 1 , de centre A. On note Az laxe perpendiculaire au plan de la bobine en son centre, il est appelé « axe de la bobine ». Cette bobine, dont on néglige lépaisseur, est composée de n 1  jointives de spires rayon R 1  (figure 1.a). Elle est parcourue par un courant dintensité constante I 1 . On r note B 1 (M) le champ magnétique créé parC 1 en un point M de lespace. 

C 1

a. En présentant avec soin la méthode utilisée, montrer que lon peut r écrire : B 1 (M)=B 1r (r, z)e r r +B 1z (r, z)e r z et z sont les coordonnées cylindriques; r dorigine A et daxe Az et on introduit r e z  vecteur unitaire de laxe Az et le r e r =Az.surdeMoinejtcporealréepntseoùrH MH MH  r b.  BMontrer que, pour M appartenant à laxe Az, 1 (M) est colinéaire au vecteur e z .

c. 

Champ sur l’axe et on 1.a.: le courant est algébrisé comme lindique la figure choisit I 1 Représenter graphiquement lallure de la variation de> 0.  B 1z  avec(0, z) la coordonnée z, pour M vérifiant AM=z r e z . Le calcul de B 1z  pas(0, z) nest demandé.

d. On choisit toujours I 1 > 0. Dessiner la carte des lignes du champ r magnétique B 1 quelconque contenant laxe Az. On précise que dans un plan (M) , les lignes de champ magnétique doivent être orientées.

I 1

z

r e z 

A

figure 1.a

C 1

C’ 1

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I 1 

I 1

z

A

O

A 

figure 1.b

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1.2. On considère une deuxième bobine circulaire planeC’ 1 , de centre A et daxe Az, identique à la précédente (n 1 spires jointives et de rayon R 1 ), parcourue par un courant dintensité constante I 1 algébrisé comme lindique la figure 1.b. On impose  et I 1 = I 1 . Les deux bobinesC 1  etC’ 1  sont perpendiculairement placées au même axe AAz. O est le milieu du segment AA ; on note OA= −OA'=ae v z  (a > 0) (figure 1.b). On suppose que r et z sont les coordonnées cylindriques dorigine O et daxe Oz. r On note B 0  champ (M) lemagnétique créé en un point M par la superposition des contributions des deux bobines. On suppose I 1 > 0. Les deux bobinesC 1  etC’ 1  sont donc parcourues par des courants de sens opposés.

a. Montrer que lon peut écrire pour tout point M, comme au1.1.a.de cette r r  r partie : B 0 (M)=B 0r (r, z)e r r +B 0z (r, z)e r z . Etablir que B 0 (O)=0 .  b. Soit ( Q m bobines (plan perpendiculaire à Oz en O). Montrer) le plan médian des que, dans le plan ( Q m  B), le champ magnétique 0 est « radial ».

r c. Dessiner soigneusement la carte des lignes du champ magnétique B 0 , dans un plan quelconque contenant laxe Oz. On considère toujours I 1 > 0. Examiner en particulier lallure des lignes de champ, au voisinage du point O et du plan ( Q m ).

On rappelle que les lignes de champ magnétique doivent être orientées.   d. Champ dans le plan( Q m ) : représenter graphiquement lallure des variations de B 0r  la coordonnée r, pour un point M du plan ((r,0) avec Q m ) vérifiant OM=re r r ; le calcul de B 0r (r,0) nest pas demandé. Justifier en particulier que le module de B 0r (r,0) présente un maximum B 0max une certaine valeur de r notée R, pour max ; on ne demande de déterminer ni B 0max ni R max .  2. Force de Laplace.  On considère dans cette question un circuit électriqueScomposé dune spire circulaire plane de centre C, de rayon R, et daxe CZ. Il est parcouru par un courant dintensité I maintenu constant et supposé positif ; lalgébrisation du courant est précisée sur la figure 2.   2.1. Ce circuitSest placé dans un plan horizontal ( Q m  centre O, où règne un champ) de r magnétique B 0 « radial » de centre O, cest-à-dire un champ vérifiant, en tout point r M du plan : B 0 (M)=B 0r (r,0)e r r où r = OM et OM=r r e r  mais pas(Cest, par exemple nécessairement, le champ créé dans leur plan médiateur par lensemble des deux bobines étudié au1.2.de cette partie). La spireSest centrée en faisant coïncider les points C et O. Laxe CZ, de vecteur unitaire r e Z = r e z , est aligné sur laxe Oz orthogonal en O au plan ( Q m ) :les coordonnées Z et z sont confondues ; l’axe commun est, de plus, orienté selon la verticale ascendante.   

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a. Soit P un point particulier de la spireS, et  dOP  un élément de circuit situé en P. Donner lexpression de la force de Laplace élémentaire exercée par le r champ B 0 sur lélément dOP .  r b. En déduire que la spireS Fest soumise à une force de Laplace verticale L dont on donnera lexpression vectorielle en fonction de R, B 0r (R,0) , I t r e e z .

c. 

On suppose, pour tout r, B 0r (r,0)<0 . Quelle est alors lorientation de la force r F L ?

S

I

O

C 

figure 2

Z z

r B 0 (M)

( Q m )

 2.2.  en dessous de lun des plateauxPour mesurer la force ci-dessus, on suspend le circuit dune balance à fléau symétrique. Lorsque I = 0, léquilibre est assuré par une tare placée sur lautre plateau. Pour un courant I différent de 0, léquilibre est rétabli en plaçant sur le plateau situé au-dessus deSune masse m L . On se placera dans le cas où le champ magnétique dans le plan (Q m )  estet dirigé vers O, cest-à-dire que radial B 0r (r,0)<0 .    a. Proposer un schéma de principe annoté du dispositif expérimental décrit ci-dessus.    b. Montrer que m L doit satisfaire léquation [1] :   m L = − 2πRIB 0r ( R,0 )  [1]  g  où g désigne le module de laccélération de la pesanteur.  c. Application numérique: R = 10,0 cm, g = 9,81 m.s -2 , B 0r (R,0)= −0,90 T , I = 8,70 A. Déterminer m L .

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

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2.3. Il est possible de généraliser lexpression [1] lorsque le circuitSnest plus une simple spire plane mais un circuit fermé filiforme parcouru par un courant dintensité I, et r que la carte des lignes de champ de B 0 est quelconque.

r a.  BDonner lexpression de la force de Laplace exercée par le champ 0 sur le circuit Ssous la forme dune intégrale curviligne le long deS.    b. Un système mécanique, non détaillé ici, permet de compenser les forces exercées perpendiculairement à la verticale r e z . On suppose de plus que le point dapplication de la force de Laplace est à la verticale du centre de masse de la masse m L . Exprimer m L . On appelle [1] léquation obtenue. 

2.4. On considère à nouveau le cas oùSest une spire circulaire plane horizontale dans la configuration de la question2.1.de la partie A. La géométrie du champ r magnétique B 0 est identique à celle décrite dans la question1.2.de cette partie. 

a. Le passage prolongé du courant I maintenu constant peut contribuer à augmenter la valeur du rayon R. Expliquer pourquoi.    b.  variationLorsque R augmente dune petite quantité dR, établir lexpression de la dF Lz  la composante, notée F de Lz , suivant z de la force de Laplace en fonction notamment de B 0r (R,0) et de ∂B 0r  hormis(R,0) . La situation et la géométrie ∂r edS, R, restent inchangées. 

c. champ magnétique relative à son flux etRappeler la propriété fondamentale du donner léquation locale qui traduit cette propriété.    d. nopquxerpuet dR d imer F ertronM Lz en fonction de I, R et de la dérivée partielle par rapport à z de la composante verticale du champ, prise en un point du plan ( Q m ) vérifiant r = R. En déduire que :  1 dF Lz = − 1∂B 0z  On rappelle(R,0) . F Lz dR B 0r (R,0)∂z r quen coordonnées cylindriques, la divergence dun champ de vecteur B sécrit : div(B)= 1∂(rB r ) + 1∂B θ + ∂B z .  r∂r r∂θ ∂z

e. 

En considérant notamment la carte du champ donnée au1.2.c.de la partie A, peut- on prévoir le signe de la variation relative de F Lz avec R ? Commenter. Exprimer F 1d d F R Lz  lorsquon = R fait le choix particulier R max , identifié au1.2.d. cette de Lz partie. 

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Partie B : Mesure dune force électromotrice dinduction   Lorsquun circuit conducteur est déplacé dans une région de lespace où règne un champ magnétique, une force électromotrice (f.é.m.) peut être induite dans le circuit. La détermination dune telle f.é.m. pour un champ radial est étudiée dans le paragraphe2., partie qui peut être abordée directement. Au1. dinduction,, on se propose danalyser le phénomène en étudiant le mouvement dune charge, puis celui dune barre conductrice, dans un champ magnétique.  1. Mouvements dans un champ magnétique uniforme et stationnaire.  1.1. Particulecette question une particule portant une charge: on considère dans électrique q, assimilée à un point matériel de masse m q . Cette particule est susceptible de se déplacer dans lespace. On repère sa position à laide de ses coordonnées x, y, z dans un repère galiléen orthonormé dorigine O et de vecteurs unitaires (e r x , e r y , e z  les axes Ox, Oy et Oz. Laxe Oz matérialise la verticale ascendante) suivant de lespace. La particule, initialement située dans le demi-espace z > 0, sur laxe Oz, est animée dun mouvement rectiligne uniforme de vitesse r v 0 =v 0 r e z , avec v 0 <0 . A t = 0, elle pénètre dans le demi espace z < 0, vide également, mais dans lequel règne r un champ magnétique uniforme et stationnaire B u =B u r e x . 

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r a. Donner lexpression de la force de Lorentz F B exercée par le champ magnétique sur la particule, en fonction de la vitesse r v  Bde la particule, de q et du champ u .  b. On suppose, dans toute la suite de cette question, quon peut négliger linfluence de la force de pesanteur sur la particule. Pourquoi ?

c. Montrer que, pour t > 0 et z < 0, la vitesse v r  vreste de norme constante égale à 0 .

d.  > 0Montrer que, pour t le mouvement a lieu dans un plan orthogonal à < 0, et z r B u .

e. En déduire que le mouvement, pour t > 0 et z < 0, seffectue selon une trajectoire portée par un cercle de rayon R u . Exprimer R u .

1.2. Barre rigide: on considère une barre conductrice QQ, rigide, filiforme et de section négligeable, de centre Q 0 , de longueur 2ℓ. Cette barre est maintenue parallèle à laxe Oy par un système de guidage. Durant toute létude, y compris dans la zone où règne un champ magnétique, la barre a un mouvement de translation rectiligne uniforme avec une vitesse constante r v 0 =v 0 e r z  v avec , 0 <0 ; son centre Q 0  astreint à se est déplacer dans le vide le long de laxe Oz. A t = 0, la barre pénètre dans le demi espace z < 0, vide également, mais dans lequel règne un champ magnétique uniforme et stationnaire B u =B u e r x (figure 3).

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Q

r e x 

r e z 

Q 0

O

figure 3

Q

r B u



r e y 

 Pour t > 0, on suppose que le régime est permanent, quaucun courant ne circule dans la barre et que la conduction dans la barre est assurée par des électrons, de masse m e et de charge q = - e.  a. Expliquez qualitativement lapparition dun champ électrique dont laction sur les porteurs de charge compense exactement celle de la force magnétique.  b. En utilisant la notion de champ électromoteur, montrer quil existe entre les extrémités Q et Q de la barre une différence de potentiel V=V(Q)−V(Q') que

H lon exprimera en fonction de v 0 , B u  etℓ. Pouvait-on prévoir le signe de V H par lanalyse qualitative de la question précédente ?  2. Force électromotrice.  On considère dans cette question, comme dans la question2. la partie A, un circuit de électriqueScomposé dune spire circulaire conductrice, de centre C, de plane indéformable, rayon R, et daxe CZ. Ce circuit est ouvert, et possède deux bornes A 1  A et 2  infiniment proches lune de lautre (figure 4).



A 2  A 1

S

O

Z z

C

figure 4

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B 0 (M)

( Q m )









 







2.1. Ce circuitS est placé, à linstant t = 0, dans le plan horizontal ( Q m ) passant par O, r dans une région de lespace où règne un champ magnétique  B 0 « radial » de centre O, cest-à-dire un champ vérifiant, en tout point M du plan : r B 0 (M)=B 0r (r,0)e r r  et OMoù r = OM=r r e r  le champ créé dans(Cest, par exemple, leur plan médiateur par lensemble des deux bobines étudié au1.2.de la partie A). La spireSest centrée en faisant coïncider les points C et O. Laxe CZ, de vecteur unitaire r r  sur laxe Oz orthogonal en O au plan (, es aligné Q m ) :les  e Z =e z t coordonnées Z et z sont confondues ; l’axe commun est, de plus, orienté selon la verticale ascendante. v t A le point C est animé dune vitesse = 0, r 0 =v 0 r e z , avec v 0 <0 .  a.  dans = 0Montrer quil apparaît à tS différence de potentiel électrique une U S =V(A 1 )−V(A 2 ) entre les deux bornes A 1 et A 2 .  b. Montrer que U S vérifie léquation [2] :

U S = −2πRB 0r (R,0)v 0  [2]

c. Application numérique: R = 10,0 cm, Déterminer la valeur absolue de U S .

− B 0r (R,0)=0,90 T ,



v 0 = - 12,0 mm/s.

2.2. est possible de généraliser lexpression [2] lorsque le circuit filiforme ouvertIl Snest r plus une spire plane, et que la carte des lignes de champ de B 0  est quelconque. Donner lexpression de U S sous la forme dune intégrale curviligne le long deS. On appellera [2] léquation obtenue.  2.3. On considère à nouveau le cas oùSest une spire circulaire plane horizontale. Divers phénomènes peuvent contribuer à augmenter la valeur du rayon R. La géométrie du r champ magnétique B 0 est identique à celle décrite dans la question1.2.de la partie A.

a. Lorsque R augmente dune petite quantité dR, exprimer la variation dU S  de la différence de potentiel électrique U S  B, en fonction notamment de 0r  de(R,0) et ∂ 0 situatio ∂r B r  n(R,0) , la et la géométrie deS, hormis R, restent inchangées.  b. En saidant des résultats de la question2.4. de la partie A, établir que U 1 S d d R U S = − B 0r )0,R( 1 ∂ B 0z  Commenter.(R,0) . z

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Partie C : Mesure de la constante de Planck   Le même circuitSplacé dans les deux situations étudiées dans lesest successivement parties A et B. Dans la phase statique, on mesure donc la masse m L  de satisfaire permettant léquation [1] du2. dans la phase dynamique on mesure la différence de ; la partie A de potentiel U S  léquation [2] duinduite par le mouvement, satisfaisant2.de la partie B.  r 1. On suppose que ni la géométrie deS ni la carte du champ magnétique  B 0  nont évolué entre les deux expériences.  1.1. Montrer que, dans ces conditions, on peut écrire : 



2. 



 3. 



U S I= m L g v 0  [3]

1.2.  A quelsQuelle est la dimension des différents termes de léquation [3] ci-dessus ? domaines de la physique appartiennent-ils ?  On dispose aujourdhui détalons électriques dorigine quantique extrêmement stables et reproductibles : - étalons de tension sur leffet Josephson, qui permet, moyennant la mesure basés dune fréquenceν hf  située dans le domaine des hyperfréquences, de relier une tensionquelconqueàunmultipleentierde 2 h ν hf où h est la constante de Planck e et e la valeur absolue de la charge de lélectron ; - étalons de résistance sur leffet Hall quantique, qui permet de relier une basés résistance quelconque à un sous-multiple entier de  h 2 . e 2.1.  desA quelle partie du spectre des ondes électromagnétiques le domaine dit « hyperfréquences » correspond-il ? Indiquer, en fréquences et en longueurs donde, les ordres de grandeur correspondants.  2.2. rèApavsroiesprexsleénndotnasiudartsnoisdeuresmeslesU S  et I utilisant les étalons électriques dorigine quantique, montrer que la relation [3] conduit à : h m L vg ' 0 tante numérique pouvant être déterminée, etν hf et = Kν hf ν hf , où K est une cons ν fréquences à mesurer lors de mesures de tensions.' deux hf 2.3. h fait intervenir la mesure duneAinsi, la détermination de la constante de Planck masse, et des mesures de grandeurs cinématiques : fréquence, vitesse, accélération Quel est lordre de grandeur de la meilleure incertitude relative avec laquelle de telles quantités peuvent aujourdhui être déterminées ?

Généralisation à un circuitSrigide, de forme géométrique quelconque. On se place dans le cas étudié au2.3.de la partie A et au2.2.de la partie B. En utilisant les expressions intégrales [1] et [2] trouvées respectivement dans les parties A et B, montrer que la relation [3] de la partie C reste satisfaite.

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Partie D : Le concept dénergie  On se propose dans cette partie daborder quelques activités dordre pédagogique en lien avec le thème de l« énergie », à divers niveaux de formation.  1. Le programme de physique, enseignement obligatoire, des classes de terminale, série scientifique, évoque dans plusieurs domaines la notion dénergie.  1.1. Dans la partie, jointe en annexe, sur la « Propagation dune onde ; ondes progressives », le programme énonce lune des propriétés des ondes mécaniques progressives sous la forme suivante : « - la perturbation se transmet de proche en proche ; transfert dénergie sans transport de matière ». Construire une réponse argumentée faite à un élève de terminale qui, en fin dannée scolaire, sinterroge sur la nature physique de lénergie qui se transfère. On sappuiera sur lun des deux exemples suivants : la corde ou les ondes sonores.  1.2.  du programme sur les aspects énergétiques de la partie sur l« ÉvolutionL extrait  temporelle des systèmes mécaniques » est joint en annexe. 

2. 

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     



a. Établir, comme vous le feriez devant des élèves de TS, les expressions de lénergie mécanique dun système solide-ressort et de celle dun projectile dans un champ de pesanteur uniforme. Vous ajouterez les commentaires de nature physique que vous feriez noter aux élèves.  b. Etude expérimentale: dans le cas du système « solide-ressort » :  - décrire, avec précision, un système expérimental utilisable en travaux pratiques avec les élèves de TS permettant lenregistrement des oscillations.  - présenter les principales étapes dune exploitation de cet enregistrement visant à étudier : les transferts dénergie et la conservation ou non conservation de lénergie mécanique.  Lextrait du programme de mécanique du point matériel de la voie PCSI des classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques sur la notion dénergie potentielle dans les problèmes à un degré de liberté est donné en annexe. Proposer un exercice dapplication illustrant lintérêt de la notion dintégrale première de lénergie. On donnera successivement :

- lénoncé de lexercice,  - un corrigé succinct.

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