Corrigé Bac S Mathématiques Spécialité 2014

Description

EXERCICE 1 (5 points)
Commun à tous les candidats
Partie A
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on désigne par C1 la courbe représentative de la
fonction f1 définie sur R par :
f1(x) = x + e−x
1. Justifier que C1 passe par le point A de coordonnées (0,1).
2. Déterminer le tableau de variation de la fonction f1. On précisera les limites de f1 en +∞
et en −∞.
Partie B
L’objet de cette partie est d’étudier la suite (In) définie sur N par : In =Z1
0 ¡x + e−nx ¢ dx.
1. Dans le planmuni d’un repère orthonormé ³O ; −→ı , −→ ´, pour tout entier naturel n, on note
Cn la courbe représentative de la fonction fn définie sur R par fn(x) = x + e−nx .
Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe Cn pour plusieurs valeurs de l’entier n et
la droite D d’équation x = 1.

Sujets

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Informations

• Publié par: Studyrama
• Publié le: 18 novembre 2015
• Nombre de lectures: 24 980
• Langue: Français

Extrait

Bac

S

2014

Métropole, Exercice spé

Exercice 4
1. Aubout de la première année, les 100 poissons deBsont vendus et apportent 200 poissons
enA, qui reçoit aussi les 200 annuels d’oùa1=200+200=400.Breçoit les 200 qu’avaitA
plus les 100 annuels d’oùb1=200+100=300.
Si(a, b)sont les effectifs une année, l’année suivante ce sera(2b+200, a+100). Ainsi:
•(a0, b0) = (200,100)
•(a1, b1) = (400,300)
•(a2, b2) = (800,500)
2. a)C’est la version matricielle de ce qui vient d’être dit. En effet, :
! "! "! "! "
xn2yn2002yn+200
A+B= + =
ynxn100xn+100
b) On cherche les points fixes. Pour cela on doit résoudre :
#
! "! "
x xx= 2y+200
=A+B⇔
y yy=x+100
#
0 =y+300(on a faitL1+L2)
⇔
−x=400(on a faitL1+ 2L2)
#
! "
x0y0=−300
Si j’appellela solution, j’ai donc :.
y0x0=−400
! "! "! "! "
x0x0x0x0
c)Yn=Xn−doncA Yn=A Xn−A=A Xn−+B=Xn+1−=Yn+1.
y0y0y0y0
$ %$ %$ %
2 22 02 02 20
3. a)Zn+1=Y2n+2=A Y2n=A Zn. Or,A=×2= =×l’on noteId. (Si
1 01 00 2
Id la matrice identité).On a montré queZn+1= 2Zn.
n n
b) On a donc par récurrenceZn= 2Z0⇔Y2n= 2Y0.
n nn
Ensuite,Y2n+1=A Y2n=A×2Y0(= 2A×Y0) = 2Y1.
! "
600
On remarque queY0=
400
On a alors :

!n"
600×2


Y2n=
n
400×2
!n",
800×2


Y2n+1=
n
600×2
de quoi l’on déduit :

!n"
a2n=600×2−400

X2n=
n
b2n=400×2−300
!n".
800×2−400
a2n+1=

X2n+1=n
b2n+1=600×2−300

4. a)L’algorithme affiche la valeur deapen fonction dep, et met cette valeur dans la variablea.
b) Il suffit d’écrire :
p=1, m=0
traiter tant que a<10000
| calculerle a donné par l’algorithme précédent
| incrémenterp et m de 1 unité
afficher m

1