Corrige BTSFLUIDE Mathematiques 2006

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BTS - groupement B - 2006Correction de l’´epreuve de Math´ematiquesExercice 1A . R´esolution d’une ´equation diff´erentielle .′′ ′1. R´esolution de (E ) : y −3y −4y = 0 .02L’´equation caract´eristique est r −3r−4 = 0. Ses solutions sont r =−1 et r = 4 .1 2−x 4xLes solutions de l’´equation diff´erentielle sont donc d´efinies surR par y(x) = λe +μe , ou` λ et μ sont deuxnombres r´eels quelconques.−x2. h d´efinie surR par h(x) =xe est une solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle (E).−xh(x) =xe donc′ −x −xh (x) = 1×e +x(−e )−x= (1−x)e′′ −x −xet h (x) = (−1)e +(1−x)(−e )−x= (x−2)e′′ ′ −xon v´erifie que : h (x)−3h (x)−4h(x) = [(x−2)−3(1−x)−4x]e−x= [−5]e−xCe qui prouve que h(x) =xe est solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle (E).3. Ensemble des solutions de l’´equation diff´erentielle (E)Toutes les solutions de l’´equation (E) sont obtenues en faisant la somme des fonctions solutions de (E ) et d’une0solution particuli`ere de l’´equation (E).−x 4x −xIl en r´esulte que y(x) =λe +μe +xe .′4. Solution particuli`ere f telle que f(0)= 2 et f (0) =−1−x 4x −x ′ −x 4x −xf(x) =λe +μe +xe donc f (x) =−λe +4μe +(1−x)e−0 0 −0il en r´esulte que: f(0) =λe +μe +0×e =λ+μ′ −0 0 −0et f (0) =−λe +4μe +(1−0)e =−λ+4μ+1 λ+μ = 2Les conditions initiales conduisent `a la r´esolution du syst`eme:−λ+4μ+1 =−1 λ+μ = 2 λ = 2 λ = 2Equivalent a` d’ou` soit−λ+4μ =−2 5μ = 0 μ = 0−x 4x −xOn en d´eduit que : f(x) = 2×e +0×e +xe−x= (x+2)eB. Etude locale ...

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BTS  groupement B  2006 Correctiondel’´epreuvedeMathe´matiques

Exercice 1 A.R´esolutiond’unee´quationdiff´erentielle. ′′ ′ 1.tulose´RE(ednoi 0 ) :y−3y−4y= 0 . 2 L’´equationcaracte´ristiqueestr−3r−4 = 0.Ses solutions sontr 1 =−1 etr 2 = 4 . −x4x Lessolutionsdel’e´quationdiff´erentiellesontdoncd´efiniessurRpary(x) =λe+µeo`u,λetµsont deux nombresr´eelsquelconques. −x 2.hruseifin´edRparh(x) =xe).(Etienleelidnore´ffqe´’itauciluaptrdele`iretuneestionsolu −x h(x) =xedonc ′ −x−x h(x) =1×e+x(−e) −x = (1−x)e ′′ −x−x eth(x() =−1)e+ (1−x) (−e) −x = (x−2)e ′′ ′−x onv´erifieque:h(x)−3h(x)−4h(x[() =x−2)−3 (1−x)−4x]e −x = [−5]e −x Ce qui prouve queh(x) =xendio´eiffntrellie)E(e.setsolutionparticuile`ered’le´uqta 3.)E(elleitEmesndelble´’nodsulitseoserendiff´tionequa Touteslessolutionsdel’´equation(E)sontobtenuesenfaisantlasommedesfonctionssolutionsde(E 0 ) et d’une solutionparticulie`redel’´equation(E). −x4x−x Ilenre´sultequey(x) =λe+µe+xe. ′ 4.uloSnoittrapiculi`ereftelle quef(0) = 2 etf(0) =−1 −x4x−x′ −x4x−x f(x) =λe+µe+xedoncf(x) =−λe+ 4µe+ (1−x)e −0 0−0 ilenr´esulteque:f(0) =λe+µe+ 0×e=λ+µ ′ −0 0−0 etf(0) =−λe+ 4µe+ (1−0)e=−λ+ 4µ+ 1  λ+µ= 2 Lesconditionsinitialesconduisent`alar´esolutiondusyste`me: −λ+ 4µ+ 1 =−1   λ+µ= 2λ= 2λ= 2 Equivalent`ad’o`usoit −λ+ 4µ=−2 5µ= 0µ= 0 −x4x−x Onende´duitque:f(x2) =×e+ 0×e+xe −x = (x+ 2)e B. Etude locale d’une fonction 1.vele´Demtnpoept´e`limirdreal’oisiovua3.0edegan 2 32 3 t tx x t3−x3 On sait que :e= 1 +t+ + +t ε(t) donce= 1−x+−+x ε(x) aveclimε(x) = 0 2 62 6 x→0 −x f(x(2 +) =x)e   2 3 x x 3 = (2 +x) 1−x+−+x ε(x) 2 6 3 3 x x 2 23 = 2−2x+x−+x−x+ +x ε(x) 3 2 3 x 3 = 2−x+ +x ε(xlim) avecε(x) = 0 x→0 6 2.Tangente au point d’abscisse 0 Onsaitquel’e´quationdelatangentecorrespondaude´veloppementlimit´e`al’ordre1auvoisinage de0.Ilenre´sultequelatangenteTapoure´quation:y= 2−x

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